了解电源环路稳定性和环路补偿—第1部分：基本概念和工具

2022-01-27

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了解电源环路稳定性和环路补偿—第2部分：不寻常或有问题的波特图

简介

对电源工程师来说，环路设计和稳定性测试是非常重要的工作。在设计电源时，无论是开关模式还是线性模式，均应保证快速瞬态响应性能和足够的稳定性裕量。不稳定或勉强稳定的电源会产生振荡，会使纹波、电压、电流和热应力增大，可能会损坏电源和关键的负载器件。

人们广泛使用环路波特图来检查电源反馈环路的带宽和稳定性，提供准确的环路性能量化值。本文从奈奎斯特图准则到波特图角度，介绍环路稳定性的关键概念和重要性。然后，提供波特图和工具示例，以及实验测量结果，用于生成波特图，以演示如何出色评估环路稳定性。本文还解释说明实际的环路测量设置考量因素。

基本反馈环路概念回顾：稳定性标准和波特图

奈奎斯特图和奈奎斯特准则

在评估线性负反馈环路系统稳定性时，一个基本的原始概念是使用奈奎斯特图的奈奎斯特准则。它是以贝尔电话实验室的工程师哈利•奈奎斯特的名字命名的，他于1932年发表了一篇关于反馈放大器稳定性的经典文章。现在，在所有有关反馈控制理论的书本中，都可以找到他的奈奎斯特稳定性准则。

假设反馈系统开环增益传递函数为T(s)，它的奈奎斯特图是当频率ɯ这个参数从0变化到无限时，在Re(T(s)) 和 IM(T(s))的复平面中画出来的T(s)的轨迹，其中s = jɯ = j2πf。我们可以使用极坐标来描述奈奎斯特图，其中环路幅度为径向坐标，传递函数的相位为从点(0, 0)开始的对应的角坐标。环路的稳定性是由该图中(-1, 0) 点的圈数值决定的。对于典型的模拟反馈环路电源，它的开环传递函数通常是稳定的（也就是说，没有RHP）。在这种情况下，如果T(jɯ)图不会随着频率增加，沿顺时针方向包围(-1, 0)点（如图1所示），那么该闭环系统是稳定的。另一方面，如果随着频率增加，T(jɯ)奈奎斯特图沿顺时针方向包围(-1, 0)点（如图4所示），则系统不稳定。

Figure 1. A typical Nyquist plot of a stable negative feedback linear system (power supply). — 图1. 稳定的负反馈线性系统（电源）的典型奈奎斯特图。

要拥有一定的稳定性裕量，需要使T(jɯ)图远离临界(-1, 0)点。因此，可以根据奈奎斯特准则和图，利用T(jɯ)图与(-1, 0)点之间的距离来确定电源反馈系统的稳定性裕量。严格来说，应使用(-1, 0)点和T(jɯ)图之间的最小距离来量化稳定性裕量，如图2中的值dm所示。但是，为了简化频域分析（使用波特图），相位裕量 (PM)定义为T(jɯ)图与单位圆（|T(jɯ)| = 1，或0 dB）相交的点与(-1, 0)点的角度差，增益裕量(GM)由|T(jɯ)|值决定，在该位置，|T(jɯ)|图与实轴（也就是，相位= –180°）相交，如图2所示。

Figure 2. Stability margins (phase margin (PM) and gain margin (GM)) on the Nyquist plot. — 图2. 奈奎斯特图上的稳定性裕量（相位裕量(PM)和增益裕量(PM)）。

波特图和稳定性准则

虽然奈奎斯特图提供了准确的反馈系统稳定性准则，但T(jɯ)图上没有直观显示频率值。使用此图在频域内进行基于极点和零点的传递函数分析和设计并不容易。在20世纪30年代，贝尔实验室的另一位工程师Hendrik Wade Bode（韦德•波特）发明了一种绘制增益和相移图的简单方法。它们被称为波特图对，包括作为频率函数的相应增益图和相位图。为了更直观地表示，可以使用波特图对来重新绘制奈奎斯特图，如图3所示。波特幅度图是频率值ɯ = 2πf的函数|T(s = jɯ)|图。其中，频率的水平x轴为对数函数。幅度（增益）以分贝为单位，也就是说，在该轴上，20log10|T|位置的值即为幅度|T|的值。波特相位图是频率值ɯ的传递函数arg(T(s = jɯ))的相位图，通常用度表示。相位值在垂直轴上以线性标出。在波特图上，相位图达到0 dB（x轴）时的频率被定义为系统的闭环带宽f_BW。这与T(jɯ)奈奎斯特图与单位圆相交的点是同一点。所以，在f_BW位置，相位图和–180°之间的相位差即是奈奎斯特图中所示的相位稳定裕量(PM)，即，在f_BW位置，PM = 180 + arg(T(jɯ))。注意，PM ≤ 0表示系统不稳定。随着频率增大，电源相位可能进一步降低。相位达到–180°的点，即是T(jɯ)奈奎斯特图与Re轴相交的点，在该位置，增益裕量(GM)由1/|T(jɯ)|定义。综上所述，波特稳定性准则是波特图中的简化版奈奎斯特准则。

Figure 3. A typical stable system: Nyquist plot to Bode plots and corresponding bandwidth, phase margin (PM), and gain margin (GM). — 图3. 典型的稳定系统：奈奎斯特图至波特图，以及相应的带宽、相位裕量(PM)和增益裕量(GM)。

图3. 典型的稳定系统：奈奎斯特图至波特图，以及相应的带宽、相位裕量(PM)和增益裕量(GM)。

图4显示了典型的不稳定系统，以及其奈奎斯特图和对应的波特图示例。在奈奎斯特图中，随着频率增加，环路T(jɯ)曲线沿顺时针方向包围(-1, 0)点。该图与x轴相交，甚至在|T(jw)|幅度（到(0, 0)点的距离）降低至1之前。T(jɯ)图与单位圆相交，形成负相位角。相应的，在其波特图上，在相位图达到–180°时，增益图仍然大于0 dB。在交越频率fBW下，相位值低于–180°。从波特图中，很容易看出这是一个不稳定的系统，PM < 0°。

Figure 4. A typical unstable system Nyquist plot and its corresponding Bode plots. — 图4. 典型的不稳定系统：奈奎斯特图和相应的波特图。

波特图的另一大优势在于可以明确表示出传递函数、其极点和零点、确切的频率位置，以及对增益图和相位图的影响。这使环路补偿设计成为标准设计流程。

最后，虽然在控制系统设计中一直使用波特图增益和相位裕量来衡量鲁棒性，但请注意，如果奈奎斯特图与单位圆之间有多点（频率）相交或接近单位圆（也就是说，波特增益图与0 dB相交），则波特图对稳定性裕量的解译可能不正确或不准确。例如，图5显示一个系统示例，该系统在波特图上具有不错的相位和增益裕量。但是，奈奎斯特图显示接近(-1, 0)点存在危险，可能使系统不稳定。在本示例中，系统是不稳固的。所以，即使在波特图中，也应该查看整个图，而不是仅仅重点关注PM（在 f_BW下）和GM这两个点。

Figure 5. A conceptual system with good PM and GM, but at risk of being unstable. — 图5. 一个概念图，具有出色的PM和GM，但可能不稳定。

总之，波特图是一种简单且成功的环路稳定性分析方法。所以，它广泛用于线性反馈系统中，包括电源系统。对于能够简单利用相位裕量来确定和量化环路稳定性，工程师们非常喜欢（谁不喜欢呢？）。许多现场工程师可能已经忘记从学校课本上所学的最初的奈奎斯特概念。需要指出的是，源自奈奎斯特准则和奈奎斯特图的概念现在仍然有用，尤其是在面对不寻常且令人疑惑的波特图时。

电源环路稳定性

电源分为两大类型：线性模式电源和开关模式电源(SMPS)。线性模式电源相对简单。它们的补偿网络通常集成在IC内部；所以，用户只需遵循数据手册指南中关于最小和最大输出电容的要求。SMPS通常具有更高的效率，因此比线性电源有更高的功率。许多SMPS控制器允许用户从外部调节补偿环路，以实现出色的稳定性和瞬变性能。

因为开关操作的原因，SMPS是一种非线性、随时间变化的系统。但是，可以使用平均小信号、线性模型来模拟它们，支持高达 f_SW/2的电源开关频率。所以，可以使用奈奎斯特和波特图来进行线性控制环路稳定性分析。一般情况下，SMPS的最大带宽约为开关频率 f_SW的1/10 ~1/5。通常来说，45°相位裕量是可以接受的，尤其是对于降压型转换器。60°相位裕量更加合适，不止是作为保守值，它还有助于平缓闭环输出阻抗图，以实现出色的配电网络(PDN)设计。一般需要8 dB至~10 dB增益裕量，虽然应该注意，平均模型及其波特图仅支持高达 f_SW/2的频率。此外，要衰减反馈补偿环路中的开关噪声，在 f_SW/2时需要≥8 dB的增益衰减，这是另一条增益裕量或增益衰减设计指南。有关小信号建模和环路补偿设计的更多信息，请参考ADI公司的应用笔记AN149。¹

生成电源环路波特图的工具

波特图分析是量化电源环路稳定性所需的标准方法。我们可以使用多种设计和测量工具来生成波特图。

LTpowerCAD设计工具

ADI公司的LTpowerCAD ^®设计工具（免费下载地址： analog.com/LTpowerCAD）是一种设计和优化电源的实用工具。它让工程师能够通过简单5步来设计SMPS²，包括零件搜索/选择、功率级设计、效率优化、环路和负载瞬变设计，以及生成设计总结报告。只需几分钟，就可以完成整个纸面设计。在LTpowerCAD中，使用ADI电源产品的小信号线性模型生成实时环路波特图。使用ADI的演示板验证每个产品的环路模型，以实现出色精度。工程师利用实时波特图和瞬变波形可快速设计和优化反馈环路。

图6a显示LTpowerCAD工具开始页面。用户可以通过点击 电源设计图标来开始电源设计。图6b显示LTpowerCAD环路波特图和使用LTM4638（高密度20 V_IN/15 A µModule^®降压型稳压器）的负载瞬变示例。LTM4638是一款完全集成的降压型稳压器，采用6.25 mm × 6.25 mm × 4 mm微型封装，其中包含控制IC、FET、电感，以及一些输入和输出电容。它还允许通过外部环路补偿灵活调节环路，以适应不同的操作条件，尤其是提供不同的输出电容值。因此，我们可以始终根据需要来优化环路及其瞬变性能。

在图6b所示的LTpowerCAD波特图中，绿色的竖线表示电源带宽（交越频率）。为了便于读取相位裕量，相位图在绘制时使用+ 180°相位。通过工具绘制相位图时，也常使用这种方法。红色的竖线表示电源开关频率。由于平均小信号模型仅支持高达f_SW/2 的频率，所以高于fSW的之字形增益和相位图是没有意义的。

Figure 6. (a) The LTpowerCAD supply design tool and (b) its loop design page. — 图6. (a) LTpowerCAD电源设计工具和(b)其环路设计页面。

用户只需输入/更改环路补偿网络的R/C值，或使用R/C值滑动条，然后单击定格图形 复选框，即可调整和比较实时波特图结果。此外，用户还可以设置所需的环路带宽（≤1/10至~1/5 f_SW)，然后单击 使用建议的补偿 复选框。LTpowerCAD工具将自动提供一组R/C补偿网络建议值，以快速优化环路，无论本示例中的 C_OUT 如何改变，都能实现快速带宽和足够的相位裕量。这使得环路补偿设计成为简单的一键式操作。

最后，在LTpowerCAD中设计出参数优化的电源后，将该设计导出至LTspice^®仿真工具，进行时域动态仿真。

LTspice电路仿真工具

LTspice是ADI公司提供的一款极为常用的电路仿真工具。该工具可以免费下载，下载地址 analog.com/LTspice。LTspice可用于对电源电路执行时域稳态和瞬态仿真，以及对交流电路执行频域仿真。但是，尚没有一种快速、简便的方法来仿真开关电源波特图，除非是为给定的开关模式电源电路开发专用的平均小信号模型电路^3,4,5。工程师可以使用LTpowerCAD工具执行电源设计，包括环路补偿，然后将设计导出到LTspice进行更详细的电路仿真。

波特图实验室测量

为什么要进行实验室测试？考虑参数变化

由于外部组件值不准确且存在差异，针对环路波特图建模可能是不错的起点，但可能不太准确。最主要的差异通常来自输出电容网络。如图7所示，高容值多层陶瓷电容(MLCC)的值会随直流偏置电压或交流纹波电压而显著变化，导致产生40%至~60%的电容值误差。LTpowerCAD电容库中考虑了直流偏置变化，但尚未考虑交流偏置变化。另一种常用的电容类型是导电聚合物电容。它们提供高容值，但相比MLCC，其寄生ESR电阻值也更高。遗憾的是，典型的数据手册中提供的聚合物电容的ESR值可能不准确。更糟糕的是，许多聚合物电容对潮湿环境敏感(MSL3)。如果未将器件保存在密封且干燥的包装袋中，ESR值会随时间发生很大变化。

Figure 7. Large MLCC value variations vs. operating conditions. — 图7. MLCC值的明显变化与操作条件。

为什么要进行实验室测试？考虑PCB寄生效应

有时，PCB线路的寄生电感或电容会给环路波特模型带来额外的误差。图8以降压型转换器演示板为例。补偿ITH引脚中3 cm长、10 mil的PCB走线会产生10 pF接地寄生电容。所以，会导致明显的~10°相位裕量下降。请注意，电源反馈(FB)引脚寄生电容可以带来同样的影响。

Figure 8. Compensation ITH pin PCB trace parasitic capacitance (~10 pF) affects loop phase plots. — 图8. 补偿ITH引脚PCB走线寄生电容(~10 pF)会影响环路相位图。

综上所述，通过建模获得的环路波特图可能不太准确。所以，在开发阶段，始终需要执行波特图实验测试，以验证电源质量。

环路波特图测量和相关考量

典型设置

网络（频率）分析仪，例如Ridley Engineering的RidleyBox^® ，或者Omicron Lab的Bode 100，是测量电源波特图的典型商用设备。图9显示测量受测电源器件(DUT)环路波特图的典型设置。除了标准反馈电阻外，还在反馈路径中插入一个10 Ω至50 Ω的小型注入电阻Ro。网络分析仪注入一个10 mV到100 mV的小交流信号，以“打破”环路。网络分析仪从低到高扫描交流信号频率，然后测量Ro中点A和点B的信号。在VA(s)/VB(s)（或ch2/ch1）位置测量环路增益传递函数T(s)。网络分析仪计算VA(s)/VB(s)在每个频率点的增益和相位，从而生成增益和相位波特图。

Figure 9. A typical setup to measure a power supply loop bandwidth (loop gain = ch2/ch1). — 图9. 测量电源环路带宽（环路增益 = ch2/ch1）的典型设置。

SNR考量

在进行环路测量时，我们需要考虑不同频率范围下的信噪比(SNR)。特别是，电源环路在极低频率下通常具有极高的增益，以实现高输出直流调节精度。随着频率增加，环路增益会降低。由于是将环路增益作为VA(s)/VB(s)测量，所以在极低频率下，VB(s)信号可能非常小。所以，频率极低的环路增益图可能具有很大的噪声。这就是为什么在低频率下，测量的相位图通常并不是非常平坦，且增益仍然很高。为了提高信噪比，在频率范围内采用可变的注入交流信号可能会有帮助。例如，图8b中的绿线表示使用网络分析仪设置的可变交流信号。交流信号在低频时较高，并随着频率增加呈线性减小。

此外，为了尽量降低测量噪声，应将网络分析仪探头的接地线与PCB上电源控制器IC附近安静的信号接地线连接起来。

测量包含集成式反馈电阻的电源模块

图10显示适用于两种典型的电源反馈电阻的两种设置选项。图 10a适用于分立式电源，可从外部访问反馈电阻分压器RT和RB。所以，环路测量设置和图9中的测量设置是一样的。但是，许多集成式电源（例如ADI公司的LTM系列电源模块）模块内部已有一个或者两个反馈电阻都连接至V_OUT。所以，很难断开环路并插入Ro电阻。如果反馈(FB)引脚仍可访问，那么无需断开原有的V_O检测路径，可以使用图10b中并排显示的替代方法来测量环路。在这种情况下，值更小(1 kΩ)的外部电阻对会在模块外面生成电阻分压器RT1/RB1。与图10a相比，外部电阻现在的值为之前的值的1/60。由于外部并联电阻分压器的电阻较低，大多数交流信号电流会经由这条外部路径流动，而不是经由内部路径流动。所以，可以将注入电阻Ro插入到外部电阻分压器RT1和RB1中。图11比较了使用图10a（方法2）和图10b（方法1）所示的设置进行测量获得的电源增益和相位波特图。两个增益图相互重叠。方法1显示在更低频率下，不准确的增益降低。值得庆幸的是，这并不重要，因为我们更加关注更高的频率图，特别是测量稳定性裕量时所对应的电源带宽频率。

Figure 10. Typical power supply DUT Bode plot measurement setups: (a) supply with external feedback resistors and (b) power module with internal feedback resistors. — 图10. 典型的电源DUT波特图测量设置：(a) 包含外部反馈电阻的电源和(b) 包含内部反馈电阻的电源模块。

图10. 典型的电源DUT波特图测量设置：(a) 包含外部反馈电阻的电源和(b) 包含内部反馈电阻的电源模块。

Figure 11. Example of Bode plots with Figure 10a and Figure 10b measurement methods on the same supply. — 图11. 使用图10a和图10b所示的测量方法对相同电路进行测量的波特图示例。

此外，如果原有的反馈电阻网络中包含前馈电容CFF，那么在并联电阻分压器方法中，应该依照RT/RT1比例，成比例地增加电容C_FF值，以保持相同的R/C时间常数值和极/零频率。图12给出了一个示例。

Figure 12. Proportional increased CFF value with paralleling external R-divider. — 图12. 采用并联外部电阻分压器，成比例增加 C_FF 值。

结论

奈奎斯特准则和相应的波特环路稳定性准则可以帮助工程师理解和设计快速且稳定的电源。虽然我们广泛使用波特图来说明环路的稳定性，但我们有时候也使用奈奎斯特准则来解释和说明不寻常的波特图。在明确了解环路稳定性概念后，工程师可以使用LTpowerCAD设计工具来快速设计和优化电源。此外，因为组件差异和PCB寄生效应，所以需要使用实验室环路波特测量对环路实施微调。我们应考虑实际的环路测量和设置考量因素，以获得准确的结果。