通过在LTspice中应用拉普拉斯变换对传递函数进行建模

摘要

传递函数用于电子系统的设计,例如滤波器、电源和其他控制系统。传递函数的频域分析涉及到拉普拉斯变换。本文探讨LTspice®中的传递函数实现方案,将理想的响应与建模的实现方案进行比较,并提供多个有用示例。有一些文件可以帮助理解和实践本主题。

简介

当我们想要分析一个系统的输出如何随输入变化时,会使用传递函数。这个系统可以是电阻分压器的输出电压,也可以是您在踩油门时汽车的速度。为了分析系统,我们需要了解,与频率范围内的输入相比较,其输出振幅和相位如何。为此,我们使用拉普拉斯变换。

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目前有许多资源对拉普拉斯变换的数学逻辑和直观性都展开了探讨。为了达到我们的目的,我们可以把它看作一个数学工具,它让我们能够操作增益、频率、相位和系统的指数响应。

图1显示了传递函数的基本思路。

图1. 传递函数。

图2. 电阻分压器和RC电路都将振幅降低一半,其中f = 1 kHz。RC电路还会导致延迟。

图2显示了两个不同的传递函数。电阻分压器可以简单表述为:

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RC电路则使用稍复杂一些的公式2进行表述:

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通过用这种形式表述传递函数,我们可以从极点与零点角度来讨论。这里,在ωp = 1/RC对应的位置,有一个极点。虽然RC电路(红色曲线)的1 kHz输出与电阻分压器的振幅相同,但其相位延迟较为显著。通过使用拉普拉斯变换,我们可以表述RC电路的增益和相位如何随频率变化。可以参考示例文件Simple_RC_vs_R_Divider.asc1

LTspice中的拉普拉斯变换语法

要在LTspice中实现拉普拉斯变换,首先要在示意图中加入一个与电压相关的电压源。其对话框如图3所示。

图3. 加入一个与电压相关的电压源。

右键点击电压源元素,打开元件属性编辑器。在字段中,输入"Laplace = ",后接您的公式,其中应包含复变量"s"。

图4. 在字段中输入公式。

在图4中,{C}和{R}包含在大括号中,所以我们可以使用.step spice命令来重复使用某些值。

图5仿真显示一个RC阻抗分压器的阶跃响应,以及使用拉普拉斯变换表述的对等传递函数。运行仿真,2 我们可以看到,两个输出是匹配的。

图5. 一个简单的RC电路,以及对等的拉普拉斯变换。

在传递函数增大的过程中,我发现使用代码编辑器非常有用,它可以自动高亮显示匹配的括号。在文本编辑器中输入公式,然后将其复制到LTspice对话框中。参见图6。

图6. 利用文本编辑器的语法高亮功能。

关于极点和零点的回顾

公式3给出了一个传递函数示例。

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拆解公式3的各个部分,我们首先会看到ωp0/s项。这表示一个原极点。原极点与积分器同义,用以在低频率下提供极高增益,从而消除控制系统中的稳态误差。原极点产生恒定的90°相位延迟,以及–20 dB/十倍频程的增益响应。ωp0项表示增益因为原极点滚降至0 dB时的频率。

求分子和分母的根可以分别得出零点和极点频率。注意极点/零点频率是由这些根的幅度(即绝对值)给出的。零点导致产生90°相位增幅,且其频率周围的增益增大。极点导致产生90°相位延迟,且其频率周围的增益降低。

如果将示例传递函数表述为:

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打头的"s"项现在表示原点处的零点。原点处的零点是纯微分器的代表。它具有恒定的90°相位增幅,增益随频率增大,在频率为ωz0时达到0 dB增益。

在图7所示为这些不同极点和零点的实现。每个实现方案的频率都为1 kHz。得出的每个实现方案的增益和相位如图8所示。可以参考示例文件 PoleZeroExamples.asc3

图7. 极点和零点的实现。

图8. 极点和零点(均在1 kHz频率下)的频率和相位响应。

比较理想和建模的实现方案

通过使用LTspice来对传递函数进行建模,您可以利用庞大的建模元件库。在第一个示例中,我们来看看提供比例增益的反相运算放大器。在理想实现中, H(s) = –Rp/Ri。这应该会导致简单的输入电压缩放,以及180°相移。但如图9所示,在约320 kHz时,对比理想增益,增益滚降3 dB,且相位发生了显著偏移。其推断依据是LT6015的增益带宽为3.2 MHz,图9所示电路的增益为–10 V/V。

图9. 比例增益。

在LTspice中,您可以在波形查看器中输入您自己的公式。如果我们想要查看理想公式与运算放大器电路的增益和相位差,那么我们可以添加新波形。操作方式为,右键点击波形查看器,然后选择添加曲线。然后,可以添加表达式,以得到一个节点除以另一个节点(即V(vout_pro)/V(vout_laplace))的绘图。参见图10。

图10. 添加计算出的波形。

其增益和相位比较如图11所示,从图中很明显可以看出,在低频率下,增益差为0 dB,无相位差。可以参考示例文件 ProportionalGain.asc4

图11. 比较两个波形的增益和相位。

二阶RLC系统

Simon Bramble的文章 "二阶系统电子控制理论:为工程师提供的实用分析"给出了二阶系统的一般形式。5

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当表示为LRC时,我们可以使用以下公式:

353304-eq-05a

LTspice实现方案如图12所示。在该示例中,您可以指定R、L和C,或者,您可以指定阻尼因数ζ和谐振频率ωn

图12. 二阶RLC系统。

这个二阶系统的频率响应如图13所示。图中所示的峰化通常不可取,在进行设计时,例如,为降压稳压器设计输入EMI滤波器时,通常需要对这一峰化进行衰减。可以参考示例文件 LRC_AC_Analysis.asc6

图13. RLC频率响应。

微分器和安全极点

微分器如图14所示。

图14. 微分器。

和预期的一样,原点处的零点导致增益在频率范围内增加20 dB/十倍频程。微分器用于提高对高频率信号的响应。实际上,我们并不会使用纯微分器,而是会在实现过程中加入一个安全极点。加入安全极点是为了使系统不会对高频率噪声太过敏感。此外,请注意运算放大器实现方案中显示的谐振峰值。在尝试控制系统时,这个峰值最终可能会造成问题。

图14所示的实现方案会在以下频率时达到零(增益达到0 dB)

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在我们的示例中,安全极点在此值的5倍处实现。图15显示包含安全极点的微分器实现方案。我们所需的极点频率为5 × 159 Hz = 796 Hz。为了实现这个频率,我们会使用电容值为输入电容的1/5的反馈电容。计算整个传递函数的公式为:

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其中ωz = 1/RpCd,ωp = 1/RpCi 。仿真(参见图11)显示,在接近极点频率时,该安全极点会将增益和相位双双降低。由运算放大器导致的峰化也会降低。

一阶加延迟(FOPD)

在对系统的行为建模时,FOPD模型是一个有用工具。有关更完整的说明,请阅读John D. Hedengren博士的 "动态过程建模" 报告。7 简而言之,过程可以用固定延迟、满量程响应和时间常数来描述。要实现固定延迟,我们会利用下方的拉普拉斯变换:

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注意,时间常数由1 –1/e = 63.2%定义。FOPD模型表示为:

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kp = 满量程输出

𝜏F = 时间常数

𝛳F = 时间延迟

图16显示的是满量程为100、时间常数为10 s、延迟为1 s的系统实现方案。因为是在t = 1 s时应用输入阶跃,所以紧接着在图17中t = 12 s时,输出为63.2 V。可以参考模拟文件 FOPD.asc8

图16. 一阶加延迟模型。

图17. 对输入阶跃的一阶加延迟响应。

在LTspice中设计补偿器

控制系统设计是跨越多个学科的复杂领域。补偿器是闭环控制系统的一个关键组成部分。在得出被控系统的传递函数之后,就需要设计补偿器来调节增益和相位,使闭环电路实现稳定性和高性能。


PI(2a型)补偿器


许多系统可以使用2a型补偿器进行补偿,它由原极点(积分器)和一个零点构成。负反馈提供180°相位延迟,而原极点另外导致90°固定延迟。通过加入一个零点,可以在更高频率下消除这个额外的90°相移。通过使用这种方法,我们可以确定在特定频率下需要多少相移,并据此增加零点。

图18. 基于运算放大器的2a型补偿器。

基于运算放大器的2a型控制器如图18所示。2a型传递函数可以表示为:

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原极点频率公式为ωp = 1/R2Ci,零点频率为 ωz = 1/R2Ci.

在此情况下,运算放大器的作用很明显,导致增益和相位在更高频率下相比理想值双双滚降。可以参考示例文件 Type2a.asc9

2型补偿器

2型补偿器由一个原极点和一个极点/零点对构成,表现形式如图19所示。

图19. 2型补偿器。

计算传递函数的公式为:

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极点/零点的位置为:

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此时,设计人员会面临一个两难的情况。R和C的选择对极点和零点都会产生影响。此外,还需要确定加入极点和零点的位置。《设计线性和开关电源的控制回路》一书推导了如何完成设计过程,并给出了一个相关示例。为了帮助读者理解,我们在LTspice示例文件 Type2_autoCalcs.asc 中采用并说明了此方法。10 该示例的输出如图20所示。该示例达成了在10 kHz时实现10 dB衰减和30°相位增幅的目标。和之前一样,运算放大器在更高频率下会显示出其非理想特性。

图20. 2型相位和频率响应。


3型补偿器


3型补偿器的表现形式如图21所示。

图21. 3型补偿器。

实现这个更复杂的传递函数是为了获得更大的相位增幅。负反馈提供180°初始延迟。但是现在,我们能够使用两个零点,可以将相位增加180°。通过加入两个极点使高频率增益和相位出现滚降。计算传递函数的公式为:

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极点/零点的位置为:

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与2a型补偿器一样,涉及到选择极点/零点位置,然后计算R和C的过程。《设计线性和开关电源的控制回路》一书推导了如何完成设计过程,并给出了一个相关示例。为了帮助读者理解,我们在LTspice示例文件 Type3_autoCalcs.asc中采用并说明了此方法。11 该示例的输出如图22所示。该示例达成了在5 kHz时实现10 dB衰减和145°相位增幅的目标。和之前一样,运算放大器在更高频率下会显示出其非理想特性。

图22. 3型补偿器响应。

时域中的原极点

到目前为止,我们已经展示了LTspice如何利用电路元件和拉普拉斯变换来实现传递函数。所展示的示例采用的均是频域。接下来自然可以在时域(即阶跃响应)中分析这些传递函数。

为此,我们需要解决原极点和如何实现的问题。包含原极点(即纯积分器)的传递函数为H(s) = 1/s。这个传递函数在频域(图23)中运行正常,但在时域中会出错(图24)。

图23. 原极点的AC分析运行正常。

图24. 原极点瞬态分析失败。

为了解决这个问题,我们可以改为使用行为电压源和idt()函数。此方法如图25所示。图25还给出了反馈系统的开头部分,它比较了对静态反馈电压的阻碍作用。可以参考示例文件OriginPole_TransientAnalysis_idt.asc12

图25. 可在时域中正常运行的积分。

滤波器设计

《线性电路设计手册》13 只是ADI公司提供的庞大教育材料库中的一部分。该书第8章探讨了模拟滤波器。本章中探讨的滤波器拉普拉斯表示法已作为示例文件Laplace_Filters_LinearSystemsBook.asc给出。14 请参考Precision Toolbox中关于滤波器设计的部分,获取有关设计有源滤波器的帮助。15

结论

本文通过比较集总元件表示法和基于拉普拉斯变换的公式,就如何实现传递函数提供了大量示例。这些示例作为教育材料,旨在将课堂理论和电路实现结合起来,为各种补偿器的实际设计提供帮助。需要注意的是,对于开关模式电源, LTpowerCAD 是一种强大(且优选的)的进行补偿设计的资源。16 虽然LTspice可能会被用于设计和理解某些补偿器,但在设计电源时,LTPowerCAD才是适合此项工作的工具。

参考电路

1 Simple_RC_vs_R_Divider.asc。ADI公司

2 Laplace_Simple_RC.asc。ADI公司

3 PoleZeroExamples.asc。ADI公司

4 ProportionalGain.asc。ADI公司

5 Simon Bramble。“二阶系统电子控制理论:为工程师提供的实 用分析” 。《模拟对话》,第54卷第3期,2020年9月。

6 LRC_AC_Analysis.asc。ADI公司

7 John D. Hedengren。“动态过程建模。”

8 FOPD.asc。ADI公司

9 Type2a.asc。ADI公司

10 Type2_autoCalcs.asc。ADI公司

11 Type3_autoCalcs.asc。ADI公司

12 OriginPole_TransientAnalysis_idt.asc。ADI公司

13 《线性电路设计手册》。ADI公司,2008年。

14 Laplace_Filters_LinearSystemsBook.asc。ADI公司

15 ADI Precision Studio。ADI公司

16 Henry Zhang。 “应用笔记149:开关模式电源的模型和回路补偿 设计。”凌力尔特,2015年1月。

Basso, Christophe。设计线性和开关电源的控制回路,设计线性和开关电源的控制回路

Differentiator_SafetyPole.asc。ADI公司

Type3_autoCalcs_steps.asc。ADI公司

致谢

仿真均是在LTspice中完成的。感谢科罗拉多大学博尔德分校的Shalom D. Ruben博士对本文的指导。

作者

Joseph Spencer

Joseph Spencer

Joseph Spencer自2013年起成为凌力尔特和ADI公司的现场应用工程师。 Joseph为犹他州和爱达荷州客户提供支持,主要负责高性能模拟和RF解决方案。 在担任现场应用工程师之前,Joseph在L3 Communications公司工作,负责软件定义无线电的硬件设计和管理工作。 Joseph最初就职于Maxim Integrated公司,曾担任应用和测试工程方面的职位。 Joseph拥有犹他大学电气工程学士和硕士学位。