瞭解電源迴路穩定性和迴路補償——第1部分：基本概念和工具

作者：ADI 應用總監 Henry J. Zhang

簡介

對電源工程師來說，迴路設計和穩定性測試是非常重要的工作。在設計電源時，無論是開關模式還是線性模式，均應保證快速瞬態響應性能和足夠的穩定性餘裕。不穩定或勉強穩定的電源會產生振盪，會使漣波、電壓、電流和熱應力增大，可能會損壞電源和關鍵的負載元件。

使用迴路波特圖來檢查電源回饋迴路的頻寬和穩定性的方式相當普遍，以此可提供準確的迴路性能量化值。本文便將從奈奎斯特圖準則到波特圖角度，介紹迴路穩定性的關鍵概念和重要性。然後提供波特圖和工具示例，以及實驗測量結果來說明如何生成波特圖，以展示如何卓越評估迴路穩定性，並解釋實際的迴路測量設定考量因素。

基本回饋迴路概念回顧：穩定性標準和波特圖

奈奎斯特圖和奈奎斯特準則

在評估線性負反饋迴路系統穩定性時，一個基本的原始概念是使用奈奎斯特圖的奈奎斯特準則。這個名詞是以貝爾電話實驗室的工程師哈利•奈奎斯特的名字而命名的，他於1932年發表了一篇關於回饋放大器穩定性的經典文章。現在，在所有有關回饋控制理論的書本中都可以找到他的奈奎斯特穩定性準則。

假設回饋系統開迴路增益傳遞函數為T(s)，其奈奎斯特圖是當頻率ɯ這個參數從0變化到無限時，在Re(T(s)) 和 IM(T(s))的複平面中畫出來的T(s)的軌跡，其中s = jɯ = j2πf。。我們可以使用極座標來描述奈奎斯特圖，其中迴路幅度為徑向座標，傳遞函數的相位為從點(0, 0)開始的對應的角座標。迴路的穩定性是由該圖中(-1, 0)點的圈數值決定的。對於典型的模擬回饋迴路電源，它的開迴路傳遞函數通常是穩定的（也就是說，沒有RHP）。在此種情況下，如果T(jɯ)圖不會隨著頻率增加，沿順時針方向包圍(-1, 0)點（如圖1所示），那麼該閉迴路系統是穩定的。另一方面，如果隨著頻率增加，T(jɯ)奈奎斯特圖沿順時針方向包圍(-1, 0)點（如圖4所示），則系統不穩定。

Figure 1. A typical Nyquist plot of a stable negative feedback linear system (power supply). — 圖1.穩定的負反饋線性系統（電源）的典型奈奎斯特圖。

要擁有一定的穩定性餘裕，需要使T(jɯ)圖遠離臨界(-1, 0)點。因此，可以根據奈奎斯特準則和圖，利用T(jɯ)圖與(-1, 0)點之間的距離來確定電源回饋系統的穩定性餘裕。嚴格來說，應使用(-1, 0)點和T(jɯ)圖之間的最小距離來量化穩定性餘裕，如圖2中的值dm所示。但是，為了簡化頻域分析（使用波特圖），相位餘裕(PM)定義為T(jɯ)圖與單位圓（|T(jɯ)| = 1，或0 dB）相交的點與（-1，0）點的角度差，增益餘裕(GM)由|T(jɯ)|值決定，在該位置，|T(jɯ)|圖與實軸（也就是，相位= –180°）相交，如圖2所示。

Figure 2. Stability margins (phase margin (PM) and gain margin (GM)) on the Nyquist plot. — 圖2.奈奎斯特圖上的穩定性餘裕（相位餘裕(PM)和增益餘裕(PM)）。

波特圖和穩定性準則

雖然奈奎斯特圖提供了準確的回饋系統穩定性準則，但T(jɯ)圖上並沒有直覺顯示頻率值。使用此圖在頻域內進行基於極點和零點的傳遞函數分析和設計並不容易。在20世紀30年代，貝爾實驗室的另一位工程師Hendrik Wade Bode（韋德•波特）發明了一種繪製增益和相移圖的簡單方法，稱為波特圖對，其中包括作為頻率函數的相應增益圖和相點陣圖。為了更直覺地表示，可以使用波特圖對來重新繪製奈奎斯特圖，如圖3所示。波特幅度圖是頻率值ɯ = 2πf的函數|T(s = jɯ)|圖。其中，頻率的水準x軸為對數函數。幅度（增益）以分貝為單位，也就是說，在該軸上，20log10|T|位置的值即為幅度|T|的值。波特相點陣圖是頻率值ɯ的傳遞函數arg(T(s = jɯ))的相點陣圖，通常用度表示。相位值在垂直軸上以線性標出。在波特圖上，相點陣圖達到0 dB（x軸）時的頻率被定義為系統的閉迴路頻寬fBW。這與T(jɯ)奈奎斯特圖與單位圓相交的點是同一點。所以，在 f_BW位置，相點陣圖和–180°之間的相位差即是奈奎斯特圖中所示的相位穩定餘裕(PM)，也就是在 f_BW位置，PM = 180 + arg(T(jɯ))。注意，PM ≤ 0表示系統不穩定。隨著頻率增大，電源相位可能進一步降低。相位達到–180°的點，即是T(jɯ)奈奎斯特圖與Re軸相交的點，在該位置，增益餘裕(GM)由1/|T(jɯ)|定義。綜上所述，波特穩定性準則是波特圖中的簡化版奈奎斯特準則。

Figure 3. A typical stable system: Nyquist plot to Bode plots and corresponding bandwidth, phase margin (PM), and gain margin (GM). — 圖3.典型的穩定系統：奈奎斯特圖至波特圖，以及相應的頻寬、相位餘裕(PM)和增益餘裕。

圖4顯示了典型的不穩定系統，以及其奈奎斯特圖和對應的波特圖示例。在奈奎斯特圖中，隨著頻率增加，迴路T(jɯ)曲線沿順時針方向包圍(-1, 0)點。該圖與x軸相交，甚至在|T(jw)|幅度（到(0, 0)點的距離）降低至1之前。T(jɯ)圖與單位圓相交，形成負相位角。相應的，在其波特圖上，在相點陣圖達到–180°時，增益圖仍然大於0 dB。在交越頻率fBW下，相位值低於–180°。從波特圖中，很容易看出這是一個不穩定的系統，PM < 0°。

Figure 4. A typical unstable system Nyquist plot and its corresponding Bode plots. — 圖4.典型的不穩定系統：奈奎斯特圖和相應的波特圖。

波特圖的另一大優勢在於可以明確表示出傳遞函數、其極點和零點、確切的頻率位置，以及對增益圖和相點陣圖的影響。這使迴路補償設計成為標準設計流程。

最後，雖然在控制系統設計中一直使用波特圖增益和相位餘裕來衡量穩固性，但請注意，如果奈奎斯特圖與單位圓之間有多點（頻率）相交或接近單位圓（也就是說，波特增益圖與0 dB相交），則波特圖對穩定性餘裕的解譯可能不正確或不精準。例如，圖5顯示一個系統示例，該系統在波特圖上具有不錯的相位和增益餘裕。但是，奈奎斯特圖顯示接近(-1, 0)點存在危險，可能使系統不穩定。在本示例中，系統是不穩固的。所以，即使在波特圖中，也應該查看整個圖，而不是僅僅重點關注PM（在f_BW下）和GM這兩個點。

Figure 5. A conceptual system with good PM and GM, but at risk of being unstable. — 圖5.一個概念圖，具有卓越的PM和GM，但可能不穩定。

簡而言之，波特圖是一種簡單且成功的迴路穩定性分析方法，因此能廣泛用於包括電源系統等線性回饋系統中。對於能夠簡單利用相位餘裕來確定和量化迴路穩定性而言，對於工程師們非常實用（誰不喜歡呢？）。許多現場工程師可能已經忘記從學校課本上所學的最初的奈奎斯特概念。需要指出的是，源自奈奎斯特準則和奈奎斯特圖的概念現在仍然有用，尤其是在面對不尋常且令人疑惑的波特圖時。

電源迴路穩定性

電源分為兩大類型：線性模式電源和開關模式電源(SMPS)。線性模式電源相對簡單。它們的補償網路通常整合在IC內部；所以，使用者只需遵循產品手冊指南中關於最小和最大輸出電容的要求。SMPS通常具有更高的效率，因此比線性電源有更高的功率。許多SMPS控制器允許用戶從外部調節補償迴路，以實現出色的穩定性和瞬變性能。

因為開關操作的原因，SMPS是一種非線性、隨時間變化的系統。但是，可以使用平均小訊號、線性模型來將其進行類比，支援高達 f_SW/2的電源開關頻率。所以，可以使用奈奎斯特和波特圖來進行線性控制迴路穩定性分析。一般情況下，SMPS的最大頻寬約為開關頻率 f_SW的1/10 ~1/5。通常來說，45°相位餘裕是可以接受的，尤其是對於降壓型轉換器。60°相位餘裕更加合適，不止是作為保守值，還有助於平緩閉回路輸出阻抗圖，以實現卓越的配電網路(PDN)設計。一般需要8 dB至~10 dB增益餘裕，雖然應該注意平均模型及其波特圖僅支援高達fSW/2的頻率。此外，如果要衰減回饋補償迴路中的開關雜訊，在 f_SW/2時便需要≥8 dB的增益衰減，這是另一條增益餘裕或增益衰減設計指南。有關小訊號建模和迴路補償設計的更多資訊，請參考ADI的應用筆記 AN149。¹

生成電源迴路波特圖的工具

波特圖分析是量化電源迴路穩定性所需的標準方法。我們可以使用多種設計和測量工具來生成波特圖。

LTpowerCAD設計工具

ADI的LTpowerCAD^®設計工具（免費下載地址：analog.com/LTpowerCAD)是一種設計和優化電源的實用工具。其使工程師能夠透過簡單5個步驟來設計SMPS2包括零件搜尋/選擇、功率級設計、效率優化、迴路和負載瞬變設計，以及生成設計總結報告。只需幾分鐘，就可以完成整個紙面設計。在LTpowerCAD中，使用ADI電源產品的小訊號線性模型生成即時迴路波特圖。使用ADI的展示板驗證每個產品的迴路模型，以實現卓越精度。工程師利用即時波特圖和瞬變波形可快速設計和優化回饋迴路。

圖6a顯示LTpowerCAD工具開始頁面。使用者可以透過點擊 電源設計圖示來開始電源設計。圖6b顯示LTpowerCAD迴路波特圖和使用LTM4638（高密度20 V_IN/15 A µModule^®降壓型穩壓器）的負載瞬變示例。LTM4638是一款完全整合的降壓型穩壓器，採用6.25 mm × 6.25 mm × 4 mm微型封裝，其中包含控制IC、FET、電感，以及一些輸入和輸出電容。其還允許透過外部迴路補償彈性調節迴路，以適應不同的操作條件，尤其是提供不同的輸出電容值。因此，我們可以始終根據需要來優化迴路及其瞬變性能。

在圖6b所示的LTpowerCAD波特圖中，綠色的分隔號表示電源頻寬（交越頻率）。為了便於讀取相位餘裕，相點陣圖在繪製時使用+ 180°相位。透過工具繪製相點陣圖時，也常使用這種方法。紅色的分隔號表示電源開關頻率。由於平均小訊號模型僅支援高達f_SW/2的頻率，所以高於f_SW的之字形增益和相點陣圖是沒有意義的。

Figure 6. (a) The LTpowerCAD supply design tool and (b) its loop design page. — 圖6.(a) LTpowerCAD電源設計工具和(b)其迴路設計頁面。

使用者只需輸入/更改迴路補償網路的R/C值，或使用R/C值滑動條，然後按一下 定格圖形核取方塊，即可調整和比較即時波特圖結果。此外，用戶還可以設定所需的迴路頻寬（≤1/10至~1/5 f_SW），然後按一下使用建議的補償核取方塊。LTpowerCAD工具將自動提供一組R/C補償網路建議值，以快速優化迴路，無論本示例中的 C_OUT如何改變，都能實現快速頻寬和足夠的相位餘裕。這使得迴路補償設計成為簡單的一鍵式操作。

最後，在LTpowerCAD中設計出參數優化的電源後，將該設計匯出至LTspice^®模擬工具，進行時域動態模擬。

LTspice電路模擬工具

LTspice是ADI一款極為常用的電路模擬工具。該工具可以免費下載，下載位址 analog.com/LTspice。LTspice可用於對電源電路執行時域穩態和瞬態模擬，以及對交流電路執行頻域模擬。但是，目前尚未有一種快速、簡便的方法來模擬開關電源波特圖，除非是為給定的開關模式電源電路開發專用的平均小訊號模型電路。^3,4,5工程師可以使用LTpowerCAD工具執行電源設計，包括迴路補償，然後將設計匯出到LTspice進行更詳細的電路模擬。

波特圖實驗室測量

為什麼要進行實驗室測試？考慮參數變化

由於外部元件值不準確且存在差異，針對迴路波特圖建模可能是不錯的起點，但可能不太精準。最主要的差異通常來自輸出電容網路。如圖7所示，高容值多層陶瓷電容(MLCC)的值會隨直流偏置電壓或交流漣波電壓而顯著變化，導致產生40%至~60%的電容值誤差。LTpowerCAD電容庫中考慮了直流偏置變化，但尚未考慮交流偏置變化。另一種常用的電容類型是導電聚合物電容。其提供高容值，但相較於MLCC，其寄生ESR電阻值也更高。不過，典型的產品手冊中提供的聚合物電容的ESR值可能不精準，同時，許多聚合物電容對潮濕環境敏感(MSL3)。如果未將元件保存在密封且乾燥的包裝袋中，ESR值會隨時間發生很大的變化。

Figure 7. Large MLCC value variations vs. operating conditions. — 圖7.MLCC值的明顯變化與操作條件。

為什麼要進行實驗室測試？考慮PCB寄生效應

有時，PCB線路的寄生電感或電容會為迴路波特模型帶來額外的誤差。圖8以降壓型轉換器展示板為例。補償ITH接腳中3 cm長、10 mil的PCB佈線會產生10 pF接地寄生電容。所以，會導致明顯的~10°相位餘裕下降。請注意，電源回饋(FB)接腳寄生電容可以帶來同樣的影響。

Figure 8. Compensation ITH pin PCB trace parasitic capacitance (~10 pF) affects loop phase plots. — 圖8.補償ITH接腳PCB走線寄生電容(~10 pF)會影響迴路相點陣圖。

綜上所述，透過建模獲得的迴路波特圖可能不太精準。因此在開發階段，始終需要執行波特圖實驗測試來驗證電源品質。

迴路波特圖測量和相關考量

典型設定

網路（頻率）分析儀，例如Ridley Engineering的RidleyBox^® ，或者Omicron Lab的Bode 100，是測量電源波特圖的典型商用設備。圖9顯示測量受測電源元件(DUT)迴路波特圖的典型設定。除了標準回饋電阻外，還在回饋路徑中插入一個10 Ω至50 Ω的小型注入電阻Ro。網路分析儀注入一個10 mV到100 mV的小交流訊號，以「打破」迴路。網路分析儀從低到高掃描交流訊號頻率，然後測量Ro中點A和點B的訊號。在VA(s)/VB(s)（或ch2/ch1）位置測量迴路增益傳遞函數T(s)。網路分析儀計算VA(s)/VB(s)在每個頻率點的增益和相位，進而生成增益和相位波特圖。

Figure 9. A typical setup to measure a power supply loop bandwidth (loop gain = ch2/ch1). — 圖9.測量電源迴路頻寬（迴路增益 = ch2/ch1）的典型設定。

SNR考量

在進行迴路測量時，我們需要考慮不同頻率範圍下的訊號雜訊比(SNR)。特別是電源迴路在極低頻率下通常具有極高的增益，以實現高輸出直流調節精度。隨著頻率增加，迴路增益會降低。由於是將迴路增益作為VA(s)/VB(s)測量，所以在極低頻率下，VB(s)訊號可能非常小。所以，頻率極低的迴路增益圖可能具有很大的雜訊。這就是為什麼在低頻率下，測量的相點陣圖通常並不是非常平坦，且增益仍然很高。為了提高訊號雜訊比，在頻率範圍內採用可變的注入交流訊號可能會有幫助。例如，圖8b中的綠線表示使用網路分析儀設定的可變交流訊號。交流訊號在低頻時較高，並隨著頻率增加呈線性減小。

此外，為了儘量降低測量雜訊，應將網路分析儀探頭的接地線與PCB上電源控制器IC附近安靜的訊號接地線連接起來。

測量包含整合式回饋電阻的電源模組

圖10顯示適用於兩種典型的電源回饋電阻的兩種設定選項。圖10a適用於分立式電源，可從外部存取回饋電阻分壓器RT和RB。所以，迴路測量設定和圖9中的測量設定是一樣的。但是，許多整合式電源（例如ADI的LTM系列電源模組）模組內部已有一個或者兩個回饋電阻都連接至 V_OUT。所以，很難斷開迴路並插入Ro電阻。如果回饋(FB)接腳仍可存取，那麼無需斷開原有的V_O感測路徑，可以使用圖10b中並排顯示的替代方法來測量迴路。在此種情況下，值更小(1 kΩ)的外部電阻對會在模組外面生成電阻分壓器RT1/RB1。相較於圖10a，外部電阻現在的值為之前的值的1/60。由於外部並聯電阻分壓器的電阻較低，大多數交流訊號電流會經由這條外部路徑流動，而不是經由內部路徑流動。所以，可以將注入電阻Ro插入到外部電阻分壓器RT1和RB1中。圖11比較了使用圖10a（方法2）和圖10b（方法1）所示的設定進行測量獲得的電源增益和相位波特圖。兩個增益圖相互重疊。方法1顯示在更低頻率下，不精準的增益降低。值得慶幸的是，這並不重要，因為我們更加關注更高的頻率圖，特別是測量穩定性餘裕時所對應的電源頻寬頻率。

Figure 10. Typical power supply DUT Bode plot measurement setups: (a) supply with external feedback resistors and (b) power module with internal feedback resistors. — 圖10.典型的電源DUT波特圖測量設定：(a) 包含外部回饋電阻的電源和(b)包含內部回饋電阻的電源模組。

Figure 11. Example of Bode plots with Figure 10a and Figure 10b measurement methods on the same supply. — 圖11.使用圖10a和圖10b所示的測量方法對相同電路進行測量的波特圖示例。

此外，如果原有的回饋電阻網路中包含前饋電容C_FF，那麼在並聯電阻分壓器方法中，應該依照RT/RT1比例，成比例地增加電容C_FF值，以保持相同的R/C時間常數值和極/零頻率。圖12提供了一個示例。

Figure 12. Proportional increased CFF value with paralleling external R-divider. — 圖12.採用並聯外部電阻分壓器，成比例增加 C_FF值。

結論

奈奎斯特準則和相應的波特迴路穩定性準則可以協助工程師理解和設計快速且穩定的電源。雖然波特圖被廣泛使用來協助達到迴路穩定性，但我們有時候也使用奈奎斯特準則來解釋和說明不尋常的波特圖。在明確瞭解迴路穩定性概念後，工程師可以使用LTpowerCAD設計工具來快速設計和優化電源。此外，因為元件差異和PCB寄生效應，所以需要使用實驗室迴路波特測量對迴路進行微調。實際的迴路測量和設定考量因素仍應列入考慮，以獲得精準的結果。