利用T型网络来拓展光电二极管跨阻放大器(TIA) 解决方案的适用范围— 第一部分：补偿流程

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Figure 1

   

摘要

随着跨阻放大器(TIA)解决方案在增益和速度方面的要求不断攀升，第一级运算放大器和外部元件必须具备非常高的增益带宽积(GBP)，同时反馈电容必须低到不可思议的程度。本系列文章分为两部分，第一部分将介绍一个非常简单的4步补偿流程，用于为简单的TIA设计实现近似闭环巴特沃斯响应。随后，我们将添加一个反馈电阻T型网络来改进原设计，并说明所需的简单计算公式和这种实现方式带来的优势。第二部分将展示添加T型网络后环路增益(LG)曲线的变化，分析输出噪声项的变化，修改示例设计为单电源配置，并说明如何利用T型网络来满足50 MΩ跨阻放大器(TIA)需求（提高所需的Cf并采用JFET输入器件）。

引言

对光学检测的需求已遍及各领域，并且增长迅速。已有的文献从多个角度提出了设计解决方案，而本文将采用一种相对简单的近似设计方案。图1展示了光电二极管跨阻放大器(TIA)的基本设计问题，图中标示了关键元件，并采用1.3 GHz增益带宽积(GBP)的去补偿电压反馈放大器(VFA) LT6200-10。

此示例采用10 pF检波二极管（工作在预期的反向偏置电压下，图1中未显示），目标是实现闭环二阶巴特沃斯频率响应，以期获得从输入电流到输出电压之间的20 kΩ跨阻增益。但首先，有几点重要事项需要说明。

1. 该双极性输入器件在接近负电源电压工作时，其输入引脚会流出相对较大的输入偏置电流。轨到轨输入级（如LT6200-10）在接近正电源电压时有一个交越点，在该点会激活另一个输入级。对于TIA设计，输入引脚通常偏向负电源轨，且不会发生共模(CM)偏移。SPICE线上模型显示，PNP输入级会从引脚流出典型值为18 µA的偏置电流。 R_bal电阻会抵消该偏置电流引起的输出直流误差，将误差降低至I_offset × R_f量级。此外，添加 C_fil的作用是衰减Rbal产生的约翰逊噪声。流过 R_bal = 20 kΩ的标称 18 µA输入偏置电流会使V+节点（和输入引脚）正向偏移0.36 V，这也会加到光电二极管偏置电压上。在此示例中，额定最大4 µA输入失调电流会通过电阻使输出直流误差增加4 µA × 20 kΩ = ±80 mV。
2. 该初步设计采用平衡双极性电源，故初始测试时电源以地为中心。通常，PD管提供单极性输出电流（如图1所示，表现为灌电流），电路会对输入和输出进行偏置，使电压从某个最小电平开始，进行单极性正向摆动。图1的单电源修改方案将在后文讨论。
3. 必须将放大器内部寄生的输入电容C_cm + C_diff加到二极管的源电容上以进行TIA电路的补偿分析（即设置C_f ）。LTC6200-10 LTspice^®模型测试表明，C_cm = 3.6 pF且C_diff = 0.7 pF ，因此在设计中，将4.3 pF加到本例的源电容10 pF上，并在设计方程中使用此总电容C_s = C_diode+ C_cm+ C_diff。（数据手册显示的值更高，但本次工作需要使用仿真模型元件。）
4. 数据手册给出的GBP为1.6 GHz，但对于TIA补偿，噪声增益曲线会在一个相对较高的噪声增益点与放大器的A A_ol曲线相交。因此，对于TIA设计，为了正确估算补偿方案的GBP值，需要在 A_ol相位约为90°的区间内，将 A_ol曲线的单极点以20dB/Dec投影至 单位增益的位置以获得GBP。根据线上仿真模型，此GBP值为1.3 GHz。
5. 图1的示例设计显示，反馈电容 C_f为0.42 pF。只需几个简单步骤，即可利用图2的环路增益(LG)曲线，推导出这一估算值。这是大多数TIA设计的典型LG曲线，其中放大器的开环增益曲线上叠加了反馈噪声增益(NG)响应，以显示设计中的关键频率。

图2的LG曲线上显示了关键频率。

F_o将是二阶闭环V_out/I_diode频率响应的特征频率，并且是从零点频率(Z₁)开始的上升噪声增益曲线与器件A_ol响应曲线交点的投影。数学上，它是Z₁与放大器GBP的几何平均值。对于这种简化的设计流程，单极点运算放大器A_ol模型通常足以满足需求。

噪声增益将从Z₁处开始上升，其中Z₁ = 1/(2π ×R_f× (C_s+C_f))。鉴于C_f通常小于C_s，一个非常有用的近似处理是直接在Z₁表达式中忽略C_f，以便获得近似解。由于Z₁的近似结果需带入F_o表达式中进行开方运算，所以由此产生的误差通常会非常小。

这里的补偿问题是设置噪声增益极点：P₁= 1/(2πR_fC_f)；如果Rf已选定，则只需关注C_f即可。通过对图1的二阶拉普拉斯传递函数进行详细分析，可得出其闭环二阶响应Q ≈ (P₁/F_o )。如果目标是 Q = 0.707（设置P₁ = 0.707 × F_o），这个非常有用的结果会变得更简单，最终的闭环响应将逼近于具最大平坦度的巴特沃斯响应， F_-3dB = F_o。

因此，通过如下简单四步即可求解 C_f，确保TIA实现闭环巴特沃斯响应。使用上述示例设计：

1. 求出近似噪声增益零点(1/(2π × 20 kΩ × 14.3 pF)) = 556 kHz。（这里 忽略了C_f，精确求解Z₁ 的方程中需要考虑此项。）
2. 使用此噪声增益零点频率(Z₁)和放大器的GBP，针对Q = 0.707的设计目标估算 Fo = √(556 kHz × 1.3 GHz) = 26.9 MHz = F_-3dB 。
3. 将反馈极点设置为0.707 × F_o，即0.707 × 26.9 MHz = 19 MHz = P₁。或 C_f= 1/(2π × 19 MHz × 20 kΩ) = 0.42 pF。
4. 确认高频噪声增益大于放大器的最小稳定增益，或1 + (14.3 pF/ 0.42 pF) = 35 V/V大于额定最小稳定增益10 V/V。因此，根据图2的LG曲线， F_c = 1.3 GHz/35 = 37 MHz。

巴特沃斯二阶目标设计在理想单极点A_ol下可提供65.5°的相位裕量。如果更高阶 A_ol极点远高于 F_c频率，系统将非常稳定，而本设计恰好满足这一条件。基于这个简化的巴特沃斯目标设计，要实现任何其他Q，只需按目标Q比值调整反馈电容C_f值即可。许多传统TIA设计流程的目标是将反馈极点置于 F_o来实现Q = 1。要实现该结果，只需将巴特沃斯C_f按0.707/1的比例缩小，便能得到1.2dB峰化和16%阶跃过冲的响应特性，这正好与Q = 1的二阶响应吻合。

对图1的LTspice电路进行小信号交流响应测试，得到图3所示的相当平坦的响应曲线。这不是二阶形状，因为LT6200-10模型的 A_ol 曲线显示存在一对更高频率的零点/极点，但33 MHz的 F_-3dB与该理想巴特沃斯设计的简化设计流程所预测的27 MHz F_-3dB相当接近。

将此设计流程提炼为少数几个简单的方程式，即可求得反馈极点 P₁的解。

然后，基于给定的器件GBP和总的源电容Cs，通过对方程进行整理，即可推导出最大R_f或最大F_-3dB ：

或者在给定 R_f和GBP的条件下，对上式进行整理以求解最大F_-3dB，假设P₁ 设置为如下频率的0.707：

然后，在给定目标 F_-3dB、R_f和C_s的条件下，对以上最后一个方程进行整理以求解所需的最小GBP，可得到如下约束条件：

显然，对于给定的源电容，GBP、R_f和F_-3dB三者之间存在紧密的耦合关系。对于给定的GBP和 C_s，要实现更多增益就必须降低带宽，或者反过来，要提高带宽就必须降低R_f 值（增益）。

在设计中加入电阻型网络的作用

图1示例要求反馈电容相对较低，仅0.42 pF。用于 R_f的典型SMD表贴器件）电阻具有0.18 pF到0.2 pF的寄生电容，因此实际的外部物理电容C_f需要降低到0.22 pF。虽然这勉强可以实现，但使用少量电路内T型增益，可将所需C_f值提升到一个更容易重复达到的区域；或者，当所需C_f小于0.20 pF时，借助环路内部的一定量 T型增益，可将其提升到接近寄生电容值的水平。

图4显示了反馈环路内部使用反馈T型网络的TIA设计的初步电路。¹

暂时将R1排除在电路之外，如果R2从0开始增大，须将R2加到TIA增益中的Rf上。例如，若将R2设置为1 kΩ，则图4中的TIA增益将提高到21 kΩ。当R1元件也发挥作用时，Rf输出电压上的1 + R2/R1 = A_t增益将使整体TIA增益从R_f+ R2提高到R_f× A_t + R2。首先分析添加R1和R2对直流增益和失调的影响，以TIA总增益达到Z_t为目标。

1. 权衡不同的R1和R2组合方案时，通常使用相对较低的电阻值，以使其自身的噪声对总积分输出噪声的贡献可以忽略不计。同时，应使电阻之和R1 + R2 = Rl等于目标运放负载（取决于运放的电流输出能力），此负载通常与用于生成 A_ol曲线的负载一致。
2. 当A_t增益从1（电路中无R1）逐渐提高时，所需的R_f值将逐渐降低，因为R_f = Z_t – R2)/A_t。
3. 给定R_l和Z_t，当 A_t从1逐渐提高时，求解R2和R1得到如下公式：
   1. R2 = R_l × (A_t – 1)/A_t
   2. R1 = R_l/A_t
4. 当R_f减小时（针对双极性输入运算放大器方案），为了保持输入偏置电流误差消除功能，应将R_bal减小到等于新的R_f值。在大多数双极性输入运算放大器中，此举可抵消由匹配的输入偏置电流项在R_f元件输出端引起的误差电压。输入失调电压误差仍会存在，且由于At增益的作用，其对输出的影响会被进一步放大。在输入偏置电流相对较大的情况下（例如在此双极性输入LT6200-10中），减小 R_bal= R_f值也会降低由于 I_b+进入 R_bal而导致的输入共模电压偏移。这在目标TIA增益(Zt)较高的应用中非常有用，能确保输入共模电压处于允许的范围之内。JFET或CMOS输入运算放大器方案不会使用 R_bal元件，因为其输入偏置电流要低得多，并且通常不匹配。
5. 为了实现补偿，尽管现在 R_f值有所降低，但由其设置的反馈极点(P₁)位置将保持不变，从而迫使C_f值上升。这对于将C_f提升到更容易实现的范围非常有用。

引入T型网络后，所有目标设计所需的 C_f值都得到了提升，同时双极性输入方案所需的R_bal值得以减小，输入偏置电流引起的输入共模电压偏移因而也更小。另一方面，相较于简单的TIA设计，运算放大器输入失调电压的增益会提高（幅度为T型网络的增益），输出积分噪声会略微增加。

通常，这种方法会使用适度的T型网络增益，以确保 C_f值达到或高于寄生电容水平。选择所需T型增益的步骤如下：

1. 选择一个A_t值
2. 目标R2 +R_l负载设置为Rl，求解 R2 = R_l × (A_t – 1)/A_t
3. 然后 R1 = R_l/A_t
4. 降低 R_f值，使用 R_f= ( Z_t –R2)/A_t获得所需的 Z_t增益
5. 使用这一新的R_f值和无T型网络的 P₁位置，求解提升的 C_f = 1/(2π × R_f × P₁)

另一种方法是先确定一个特定的目标C_f值，再依此设置设计中的其他元件。采用该方法会得到A_t的二次方程解。

使用原始无T型网络的P1位置，针对特定 C_f求解所需的Rf值，以在最终的T型网络方案中获得相同的 P₁位置。此外，设置约束条件：R1 + R2 = 1 kΩ = R_l。确定了新的R_f后，计算A_t的二次解需要用到二次公式中的如下标准项。

-b/2 = (Z_t – R_l)/2R_f
c = -R_l/R_f

对于之前的示例设计，假设目标反馈电容 C_f为1.2 pF。该电容由反馈电阻的0.2 pF寄生电容和1 pF的外部电容 C_f构成。为将目标P₁维持在19 MHz，_f 需要降至6.97 kΩ。

然后求解二次方程，可得A_t= 2.78。在R_l= 1 kΩ的条件下，选择R2 = 640 Ω且R1 = 360 Ω可实现Z_t = 20 kΩ 。将LTspice中的示例TIA设计更改为这些条件，即得到图5所示的电路。

在图6中，新的TIA响应曲线叠加在原始无T型网络设计的响应曲线之上。结果显示，仿真的小信号频率响应几乎没有变化。两者的起始增益均为86 dBΩ (20 × log(20 kΩ))，曲线略有纹波。 V_out T型网络的响应稍高，但两者都达到了33.7 MHz F_-3dB。

通常认为，T型网络会显著提高积分输出噪声。而这一评估结果的准确性在很大程度上依赖于预期的噪声积分带宽。对20 MHz带宽的仿真输出积分噪声进行简要分析表明：图1的简单20 kΩ反馈设计为330 µV rms，而图5的T型网络设计为363 µV rms，噪声只是略有增加。在这两种设计中，噪声的主要来源都是相对较高的输入电流噪声项，其值为3.5 pA/√Hz，通过20 kΩ增益放大后作用于输出。采用T型网络方法与采用等效的单电阻设计相比，输入电流噪声的增益没有变化。通常，建议将TIA带宽目标值设置为高于所需通道带宽，并利用后置滤波器将噪声积分带宽限制在一个较低的值。

结语

本文介绍了一种简化的设计流程，通过将T型网络应用于TIA设计，可将所需的补偿电容提升到高于寄生电容的水平。在第二部分中，我们将首先以LG波特图形式解析T型网络，然后说明使用T型网络对输出噪声的影响。

参考文献

¹Jerald Graeme，《Photodiode Amplifiers: Op Amp Solutions》，McGraw Hill出版社，1995年12月。

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