AN-649: アナログ・デバイセズのアクティブ・フィルタ・デザイン・ツールの使い方

はじめに

アナログ・デバイセズのアクティブ・フィルタ・デザイン・ツールは、全極型アクティブ・フィルタのデザインを支援します。

フィルタのデザイン・プロセスは 2 つのステップから構成されます。ステップ 1 ではフィルタ応答を決定します。すなわちフィルタの減衰および/または位相の応答を決定します。ステップ 2 では、フィルタの回路すなわち構成方法を決定します。このアプリケーション・ノートは、ステップ 1 を支援することが目的です。幾つかの標準的な応答について説明し、その減衰、群遅延、ステップ応答、インパルス応答を紹介します。次に、フィルタ・ツールを使ってフィルタをデザインします。1 つの例も示します。

標準応答

多くの伝達関数を使って、特定のフィルタの減衰および/または位相条件を満たすことができます。選択するものは、特定のシステムに依存することになります。周波数領域応答対時間領域応答の重要性を調べておく必要があります。また、これら両者とフィルタの複雑さ、したがってコストとのトレードオフも行う必要があります。

バタワース・フィルタ

バタワース・フィルタは、減衰応答と位相応答との間の最適妥協を表しています。通過帯域または阻止帯域にリップルがないため、最平坦フィルタと呼ばれることもあります。バタワース・フィルタでは、通過帯域から阻止帯域への遷移領域を比較的広くすることにより、平均過渡特性を持つ平坦性を実現しています。

バタワース・フィルタのエレメント値は、他の多くのフィルタ・タイプに比べると、実用的であり、かつクリティカルではありません。図 1 に、周波数応答、群遅延、インパルス応答、ステップ応答を示します。表 II に、極の位置と対応する ω_o項と α 項を示します。

チェビシェフ・フィルタ

チェビシェフ(ロシア後から Chevyshev、Tschebychev、Tschebyscheffまたは Tchevysheff と翻訳されることがあります)フィルタは、同じ次数のバタワース・フィルタより狭い遷移領域を持っていますが、通過帯域のリップルが大きくなっています。このフィルタ名は、最大リップルの大きさを制限するチェビシェフ基準に由来します。

チェビシェフ・フィルタは、DC で 0 dB の相対減衰量を持っています。奇数次フィルタは、0 dB からリップル値までの減衰帯域を持っています。偶数次フィルタは、通過帯域のリップルに等しいゲインを持っています。通過帯域内のリップルのサイクル数は、フィルタの次数に一致します。

チェビシェフ・フィルタは、一般にリップル帯域のエッジが ω_o = 1となるように正規化されます。 

3 dB 帯域幅は次式で表されます。

表 I に、この値を示します。

図 2～図 6 に、種々のチェビシェフ・フィルタの周波数応答、群遅延、インパルス応答、ステップ応答を示します。表 III～表 VII に、極の位置と対応する ω_o 項と α 項を示します。

ベッセル・フィルタ

バタワース・フィルタでは、振幅動作と過渡動作が優れています。チェビシェフ・フィルタでは、過渡動作を犠牲にして振幅応答を改善しています。ベッセル・フィルタは、通過帯域での線形位相(すなわち遅延の一定化)により過渡応答を向上させるように最適化されています。これは、周波数応答が比較的低下すること(振幅弁別の低下)を意味しています。

図 7 に、ベッセル・フィルタの周波数応答、群遅延、インパルス応答、ステップ応答を示します。表 VIII に、極の位置と対応するω_o項と α 項を示します。

等リップル誤差を持つ線形位相

線形位相フィルタは、ベッセル・フィルタと比較すると、広い範囲の通過帯域で線形位相応答を提供し、さらにカットオフより離れたところで優れた減衰量を提供します。これは、チェビシェフの場合の振幅リップルと同様に、位相応答にリップルを持たせることにより実現されています。リップルを大きくすると、一定遅延の領域が阻止帯域まで広がります。このために群遅延にもリップルが発生します。リップルは位相応答から発生するためです。ステップ応答では、オーバーシュートがベッセル・フィルタより少し大きくなり、インパルス応答ではリンギングが少し大きくなります。

図 8 と図 9 に、それぞれ誤差 0.05°と 0.5°での等リップル・フィルタの周波数応答、群遅延、インパルス応答、ステップ応答を示します。表 IX と表 X に、極の位置と対応する ω_o 項と α 項を示します。

6dBガウス・フィルタと 12 dBガウス・フィルタ

6dB ガウス・フィルタと 12dB ガウス・フィルタは、ベッセル・フィルタの場合と同様に、チェビシェフ・フィルタとガウス・フィルタとの間の妥協を表しています。トランジッション・フィルタは、通過帯域でほぼ線形の位相シフトと滑らかで単調なロールオフを持っています。通過帯域より上には(特に大きな値の n では)、ブレーク・ポイントがあります。このブレーク・ポイントを超えると、ベッセル・フィルタに比べて減衰量が急激に大きくなります。

6dB ガウス・フィルタは、バタワース・フィルタの場合に比べて、通過帯域の過渡応答が優れています。ブレーク・ポイント(ω_o = 1.5)の上では、ロールオフはバタワース・フィルタの場合に似ています。

12dB ガウス・フィルタの通過帯域の過渡応答は、バタワース・フィルタの場合よりかなり優れています。12 dB ブレーク・ポイント(ω_o = 2)の上では、減衰量はバタワース・フィルタの場合より小さくなっています。

図 10 と図 11 に、それぞれ 6dB ガウス・フィルタと 12dB ガウス・フィルタの周波数応答、群遅延、インパルス応答、ステップ応答を示します。表 XI と表 XII に、極の位置と対応する ω_o 項と α 項を示します。

プロトタイプ応答カーブの使い方

前述の全極型応答を持つ幾つかのローパス・プロトタイプについて、応答カーブとデザイン・テーブルをカタログ化できるようになりました。すべてのカーブは、–3 dB カットオフ周波数= 1 Hz に正規化されます。これにより、種々の応答を直接比較することができます。すべてのケースで、2～10極のケースの振幅応答を0.1 Hz～10 Hz の周波数範囲につい示します。次に、0.1 Hz～2 Hz の通過帯域の詳細を示します。0.1 Hz～10 Hz の群遅延、インパルス応答、0 sec～5 sec のステップ応答も示します。

実在のフィルタの応答を求めるためにカーブを使う場合には、カーブを正規化する必要があります。振幅応答の場合、これは周波数軸にカットオフ周波数 F_Cを乗算することにより行われます。群遅延カーブを非正規化するときは、遅延軸を 2π F_Cで除算し、周波数軸に F_Cを乗算します。ステップ応答を非正規化するときは、時間軸を2π F_Cで除算します。インパルス応答を非正規化するときは、時間軸を 2π F_Cで除算し、振幅軸に 2π F_Cを乗算します。

ハイパス・フィルタの場合、振幅応答の周波数軸を単純に反転します。ローパス・フィルタをハイパス・フィルタへ変換するときは、過渡動作は保存されません。Zverev は、これらの応答を計算する方法を提供します。

ローパスを狭帯域バンドパスに変換するときは、0 Hz 軸を中心周波数 F₀ へ移動します。これは、中心周波数を中心とするバンドパスのケースの応答が 0 Hz を中心とするローパス応答に一致することに由来します。ローパス・フィルタの周波数応答カーブは、実際に 0 Hz を中心とする鏡像になります(一般には負の周波数を考慮しませんが)。 

バンドパス・フィルタの群遅延カーブを非正規化するときは、遅延軸を πBW で除算します。ここで、BW は 3 dB 帯域幅(単位は Hz)です。次に、周波数軸に BW/2 を乗算します。一般に、F₀でのバンドパス・フィルタの遅延は、0 Hz で同じ帯域幅を持つローパス・プロトタイプの遅延の 2 倍になります。これは、ローパスからバンドパスへ変換すると次数 2n のフィルタが得られるという事実に基づいています(一般に、変換対象のローパス・フィルタと同じ次数を持つとは言われていますが)。この近似は、狭帯域フィルタに適用されます。フィルタの帯域幅を大きくすると、カーブに歪みが発生します。遅延の対称性が損なわれて、F₀ より下でピーキングが発生します。

バンドパス・フィルタ応答の包絡線は、ローパス・プロトタイプのステップ応答に似ています。さらに正確には、1/2 の帯域幅を持つローパス・フィルタのステップ応答とほぼ同じです。バンドパス・フィルタの包絡線応答を求めるときは、ローパス・プロトタイプのステップ応答の時間軸を πBW で除算します。ここで、BWは 3 dB 帯域幅です。前述のオーバーシュートやリンギングなどは、キャリアの包絡線に適用できるようになりました。

キャリアの短いバースト(ここでバースト幅はバンドパス・フィルタの非正規化ステップ応答の立ち上がり時間より十分小さい)に対する狭帯域バンドパス・フィルタ応答の包絡線は、ローパス・プロトタイプのインパルス応答を非正規化することにより求めることができます。これを実行するときは、振幅軸に πBW を乗算し、時間軸を πBW で除算します。ここで、BW は 3 dB 帯域幅です。バースト区間で多くのサイクルが発生するようにキャリア周波数は十分高いものと仮定します。

群遅延、ステップ、インパルスの各カーブを使って、フィルタによって発生する波形に対する歪みを予測できませんが、フィルタを比較するときにはこれらは有効な係数です。