瞭解電源迴路穩定性和迴路補償：不尋常或有問題的波特圖

作者：ADI院士暨資深總監 Henry J. Zhang


簡介

設計動態回應良好的穩定電源非常重要，其中，波特圖一直是量化回饋系統（如閉迴路電源）的迴路頻寬和穩定性餘裕的標準方法。然而，工程師偶爾可能會遇到不尋常或有問題的電源波特圖，導致無法確定迴路是否具有足夠的穩定性餘裕。在這種情況下，奈奎斯特準則和圖形提供了一種替代分析方法，有時能夠更直覺的解釋概念並協助確定迴路穩定性。

典型電源迴路波特圖和設計考慮因素

圖1為典型降壓開關模式電源轉換器控制迴路的頻域波特圖，以及其時域負載瞬態響應。該模型透過LTpowerCAD®設計工具建構。在此示例中，實線圖代表頻寬約為32 kHz、相位餘裕為70°的設計。一般來說，對於降壓開關模式轉換器，相位餘裕大於45°通常是合格的；而大於60°則足以確保其穩定性。然而，這一示例中的相點陣圖可能會引發疑問：在8 kHz附近，迴路增益遠高於0 dB時，相應的相位約為38°，低於45°。那麼，在增益幅度保持較高的情況下，低相位值是否可能導致穩定性問題？

Figure 1. A typical LTC3833 buck converter Bode plots and load transient responses in LTpowerCAD (with different compensation capacitor CTH values: solid line: 510 pF, dotted line: 1500 pF): (a) loop gain Bode plots; (b) load transient response.

圖1.LTpowerCAD中典型的LTC3833降壓轉換器波特圖和負載瞬態響應（使用不同的補償電容CTH值：實線：510 pF；虛線：1500 pF）：(a)迴路增益波特圖；(b)負載瞬態響應。

答案是否定的。透過應用之前研究中介紹的奈奎斯特準則概念更能解釋這一點1。圖2為圖1a中實線波特圖對應的概念奈奎斯特圖。如圖所示，在T(jա)曲線穿過單位圓之前，其相位角可以小於45°，同時T(jա)曲線遠離(-1, 0)點。因此，根據奈奎斯特準則，該系統確實非常穩定。

Figure 2. Conceptual Nyquist plot of Figure 1a solid line Bode plots.

圖2.圖1a中實線波特圖對應的概念奈奎斯特圖。

事實上，在迴路頻寬以下的較低頻率範圍提高設計的相位值是可能的，不過這可能不會改善電源動態回應性能。此示例使用了簡單的2型補償網路，電阻 RTH與回饋誤差放大器電路的電容CTH 串聯。我們可以將補償電容CTH 值從510 pF提高到1500 pF。相應的波特圖如圖1a中虛線所示。較大的CTH 會將補償零點移至較低頻率，進而有助於將較低頻率範圍的相位提高到60°以上。然而，此種相位優化並不能改善電源動態性能。相對如圖1a所示，較大的CTH值會降低低頻增益幅度，導致負載瞬變後的VOUT建立時間更長，如圖1b中的虛線波形所示。總VOUT欠沖和過沖幅度保持不變。總之，儘管原始設計（圖1中的實線）在較低頻率下的相位值較低，但仍是更好的選擇。

圖3為用於測量電源回饋迴路波特圖的標準測試設定。在VOUT（節點A）和控制器Vout_sense輸入（節點B）之間的輸出電壓回饋路徑中插入一個10 Ω至50 Ω的小電阻，該電阻通常位於內部回饋電阻分壓器上方。在很寬的頻率範圍內，網路分析儀將一個小交流訊號（通常≤50 mV pp）作用於此10 Ω電阻上。迴路增益波特圖是透過網路分析儀感測和計算一定頻率範圍內的交流訊號比VA(s)/VB(s)來繪製的。

Figure 3. Standard power supply feedback loop Bode plots test setup.

圖3.標準電源回饋迴路波特圖測試設定。

接下來，我們將研究幾種典型的波特圖異常情況：

情形1：迴路增益較高時，測得的波特圖在較低頻率下的相位非常低甚至為負

圖4a為實驗室測量的波特圖，在遠低於迴路頻寬頻率的極低頻率範圍，其相位值甚至為負。然而，隨著頻率提高，測得的相位也逐漸增加，導致交越頻率 fBW處出現很大的正相位餘裕。那麼該系統是否穩定？

Figure 4. Measured supply Bode plots with a strange negative low frequency phase plot and its conceptual Nyquist plot: (a) measured Bode plots; (b) conceptual Nyquist plot.

圖4.低頻時具有異常負相位的實測電源波特圖及其概念奈奎斯特圖：(a)實測波特圖；(b)概念奈奎斯特圖。

首先，我們注意到此類波特圖通常僅在實驗室測量結果中觀察到，而使用LTpowerCAD對同一電源進行小訊號模型模擬時，並未觀察到類似現象。因此這種現象可能涉及以下幾個實際因素：(1)波特圖是以VA(s)/VB(s)來繪製的，而較低頻率下的測量結果可能不精準。在較低開關頻率下，迴路增益幅度非常高，這導致對於來自網路分析儀的小交流注入訊號，所產生的VB(s)訊號非常小。例如，圖4a顯示迴路增益在1 kHz時約為48 dB（約251倍）。如果注入交流訊號為 100 mV，則1 kHz時V(B)處的訊號預計將為100 mV/251=0.4 mV。由此可見，測量雜訊很容易污染VB(s)訊號，導致相位結果不精準。(2)有時，DUT電源地、訊號地和網路分析儀地的接地連接會明顯影響測量結果，尤其是在超低頻率下，相點陣圖更容易受到干擾。(3)簡化的LTpowerCAD模型中可能還未對電源的某些細節進行建模。例如，時脈同步鎖相迴電路由於非常複雜，通常不會被建模。(4)最重要的是，即使測量結果真實精準，在遠低於電源交越頻率的頻率範圍下測得的波特圖也不能用來判斷電源的穩定性。這可以透過圖4b所示的相應奈奎斯特圖來解釋，儘管T(jա)曲線與x軸相交（即相位＜-180°），但其並沒有順時針包圍(-1, 0)點。實際上，T(jա)曲線始終與(-1, 0)點保持適當的距離，因此根據奈奎斯特穩定性標準，該系統非常穩定。為了進一步驗證這個結論，圖5顯示了該轉換器的時域負載瞬態響應波形。從圖中可以看到，系統的負載瞬態響應非常穩定。

Figure 5. Measured load transient response of the supply in Figure 4a.

圖5.圖4a中電源的實測負載瞬態響應。

情形2：實測增益曲線與0 dB相交多次，而相位大於-180°

圖6a為迴路波特圖的另一個例子，其中增益曲線三次穿過0 dB軸，而相位值保持為正。這個奇怪的波特圖可能是什麼原因導致的？該系統是否穩定？

Figure 6. Bode plots with strange gain plot after the crossover frequency (generated with Simplis tool) and its corresponding Nyquist plot proving a stable systems: (a) loop Bode plots; (b) corresponding Nyquist plot.

圖6.交越頻率後增益曲線怪異的波特圖（使用Simplis工具生成）及其相應的奈奎斯特圖，證明這是一個穩定的系統：(a)迴路波特圖；(b)相應的奈奎斯特圖。

圖6a中的波特圖異常通常是由電源本地輸出電容之後的電源輸出側附加後置L/C濾波器引起的，如圖7所示。在對雜訊敏感的應用中，為了進一步衰減輸出電壓上的開關漣波，有時會增加額外的電感 LS（或鐵氧體磁珠）。電感 LS可以是實際的電感，也可以是輸出電纜或長PCB佈線的寄生電感。本地電容、遠端電容 CCF和CBF以及附加濾波電感LS 的諧振導致了波特圖的異常。為了理解這一點，圖8顯示了此情況下從電源本地輸出VOUT檢測點進行的電源本地C/L/C阻抗Z1(s)分析。該Z1(s)阻抗的增益曲線上具有諧振穀和諧振峰，導致迴路增益曲線中出現穀值和峰值。

Figure 7. Power supply with additional output L/C filter.

圖7.具有附加輸出L/C濾波器的電源。

Figure 8. Output capacitor and L/C network impedance Z1(s) analysis from the supply local output side.

圖8.從電源本地輸出側進行輸出電容和L/C網路阻抗Z1(s)分析。

儘管迴路增益曲線多次穿過0 dB線，但其相位仍然保持較高水準，這是否表示系統不穩定？同樣的，我們可以透過相應的概念奈奎斯特圖來判斷，如圖6b所示。圖中顯示，T(jա)曲線多次穿過單位圓，但並未以適當的距離包圍(-1, 0)點。因此，根據奈奎斯特準則，這是一個非常穩定的系統。穩態和負載瞬態時域模擬進一步驗證了該系統的穩定性，如圖9所示。

Figure 9. Loop Bode plots and load transient response of the power supply in Figure 6.

圖9.圖6中電源的迴路波特圖和負載瞬態響應。

情形3：頻率超過電源頻寬後波特圖相位快速下降

圖10為另一個具有不尋常波特圖的電源設計及其相應的奈奎斯特圖。圖中，增益曲線首次在~20 kHz處與0 dB線交叉，此時相位餘裕為45°。然而，在電源頻寬之後，增益暫時下降，然後在40 kHz以上再次接近0 dB線。與此同時，相位急劇下降。如其對應的概念奈奎斯特圖所示，T(jա)路徑經過(-1, 0)點，表示該系統不穩定。

Figure 10. Example Bode plots and the corresponding Nyquist plot (generated with Simplis tool) showing an unstable system.

圖10.一個不穩定系統的波特圖示例和相應的奈奎斯特圖（使用Simplis工具生成）。

圖11為產生圖10所示電源波特圖的電路回饋迴路設定。在此種情況下，電源仍然包含一個附加後置濾波器L/C網路。然而，與圖7所示電路圖不同，圖11的設計是在後置濾波器網路之後從遠端負載側(VOUTB)感測輸出電壓。

Figure 11. Power supply with post filter and remote VOUT sense at node VOUTB.

圖11.具有後置濾波器的電源，在節點VOUTB進行遠端 VOUT感測。

這裡使用遠端 VOUT感測來提高直流調節精度，因為其能補償從電源輸出A到遠端負載B的傳導路徑中的直流電壓降。但是，如圖12所示，附加後置L/C是一個二階濾波器，當頻率超過Lf/C1/C2諧振頻率（即波特圖的增益峰值點）之後，相位延遲會明顯增加（高達180°）。

Figure 12. Analysis of the output L/C network with remote load side VOUT sense.

圖12.利用遠端負載側VOUT感測分析輸出L/C網路。

圖13為圖12中系統的時域負載瞬態響應波形。在穩態和負載瞬態事件期間，輸出電壓發生振盪，這進一步表示系統不穩定。

Figure 13. Unstable simulation waveforms at steady state and transient of Figure 10.

圖13.圖10示例在穩態和瞬態期間的不穩定模擬波形。

為了穩定此類具有後置二級濾波器和遠端 VOUT感測的系統，一種解決方案是使用較慢的迴路降低電源頻寬，以將後置濾波器諧振峰值推至遠低於0 dB的水準。由於迴路頻寬降低，負載瞬態響應性能會受影響。

情形4：開關電源波特圖，fSW/2處出現第二個增益峰值

有時候，即使沒有附加後置濾波器，開關電源也可能會在其開關頻率的1/2處（通常遠高於電源頻寬頻率）呈現第二個增益峰值。示例如圖14所示。有時候，對於具有固定頻率、採用峰值電流模式控制架構的電源，上述現象可能表明內部電流回饋迴路不穩定，尤其是當波特圖增益峰值隨著轉換器PWM工作週期的增大而提高時。

Figure 14. Switching supply with a second gain peak at the half of switching frequency (solid lines: duty cycle = 50%. Dashed lines: duty cycle = 40%).

圖14.開關電源，在開關頻率的一半處出現第二個增益峰值（實線：工作週期 = 50%；虛線：工作週期 = 40%）。

圖15為該峰值電流模式降壓電源的實測開關波形。圖15a為工作週期 = 41%時電感電流iL和開關節點 VSW的穩定開關波形。當工作週期增加到≥50%時，如圖15b所示，電源的開關波形開始振盪。 VSW波形顯示出重複的大/小導通時間對。具有一對大/小導通時間脈衝的現象被稱為次諧波振盪，會導致電感電流紋波增加。

Figure 15. Switching waveform of a peak current buck converter at different duty cycle conditions: (a) normal operation (D = 41%, VIN = 12 V, VOUT = 5 V); (b) under subharmonic oscillation (D ≥ 50%, VIN = 10 V, VOUT = 5 V).

圖15.峰值電流降壓轉換器在不同工作週期條件下的開關波形：(a)正常運行（D = 41％， VIN = 12 V，VOUT= 5 V）；(b)發生次諧波振盪（D ≥ 50%， VIN = 10 V，VOUT= 5 V）。

解決次諧波振盪問題的標準方法是向轉換器的電流比較器輸入增加斜率補償斜坡。如圖16所示，增加斜率補償可以消除 fSW/2處的增益峰值。最佳斜率補償量取決於工作週期。工作週期越高，所需的斜率補償越強。請注意，在ADI的大多數峰值電流模式穩壓器中，控制器IC透過整合自我調整非線性斜率補償以確保系統在寬廣工作週期範圍內保持穩定。因此，用戶不必擔心次諧波振盪的風險。

Figure 16. Bode plots of the converter in Figure 14 with and without additional slope compensation at duty = 50%.

圖16.圖14中的轉換器在有/無額外斜率補償的波特圖，工作週期 = 50%。

情形5：波特圖上的相位餘裕和增益餘裕良好，但迴路穩定性不佳

透過波特圖交越頻率處的相位餘裕和相位 = -180°處的增益餘裕，我們可以輕鬆地量化系統迴路穩定性。然而，有時除了這兩個點之外，我們還需要檢查完整曲線，以確保系統有足夠的穩定性餘裕。

圖17顯示了一對波特圖，相位餘裕和增益餘裕均良好，分別為93°和13 dB。然而，交越頻率 fBW之後的增益曲線形狀卻令人擔憂。在一定頻率範圍內，曲線保持平坦，而相位曲線則持續下降。從概念奈奎斯特圖可以看到，在T(jա)穿過單位圓後，T(jա)曲線接近(-1, 0)點，看起來很危險。這說明當元件參數發生少許變化時，T(jա)就有可能包圍(-1, 0)點。在此種情況下，應該重新設計迴路，確保T(jա)曲線遠離(-1, 0)點，以增加穩定性餘裕。

Figure 17. A power supply Bode plots with good phase margin and gain margin, but risky Nyquist plot.

圖17.電源波特圖具有良好的相位餘裕和增益餘裕，但奈奎斯特圖堪憂。

結論

綜上所述，電源迴路增益波特圖是量化其穩定性餘裕的標準方法，而且效果顯著。然而，有時一些不尋常或有問題的波特圖可能會令人困惑。在此種情況下，可以借助相應的奈奎斯特圖和奈奎斯特準則以更能瞭解迴路穩定性。本文所列舉的幾個波特圖異常系統典型實例，以及設計此類系統時的重要考慮因素闡述，便將為設計人員提供實質的協助。

參考文獻

1Henry Zhang。「瞭解電源迴路穩定性和迴路補償——第1部分：基本概念和工具」。ADI，2022年1月。

2Henry Zhang。「開關模式電源的模型和迴路補償設計」。應用筆記149，ADI，2015年1月。

3 Henry Zhang。「使用LTpowerCAD設計工具通過簡單五步設計電源參數」。應用筆記158，ADI，2015年9月。