二階系統電子控制理論:針對工程師所提供的實用分析

作者:ADI現場應用工程師 Simon Bramble


摘要

本文將詳解控制理論。通常我們在講解控制理論時,都只有透過方塊圖,而不參考實際的電路。在數學和電路模擬工具的幫助下,我們將一步步說明電子控制理論與現代電路設計息息相關。

簡介

大學教育中,教授在許多科目都會讓學生發問:「學習這門課程能讓我找到一份工作嗎?」控制理論可能就是這樣一門課程,這些多達數頁的數學和方塊圖不會在實際電路中被直接使用。但是,控制系統教授工程師如何設計自動系統、系統距離實現穩定操作還有多大距離,以及如何從給定系統獲得最佳回應。因為不管課程是關於機械、電氣、土木、航空,或者是通訊工程,如果系統不穩定,一切都沒有用。

對於設計工程師來說,控制理論就是生命本身。

現在有許多關於控制理論的優秀文章,但是其中很多都是借助方塊圖,以最概括化的方法來進行介紹。本文主要針對電子工程師,從電路分析和模擬的角度介紹電子控制系統;介紹了常見的二階系統背後的理論,而且是利用有效的電路示例來加以說明;目的在揭露二階系統的基礎原理,並向嘗試瞭解電子控制理論的人員說明,該理論與類比電路設計之間存在關聯。

二階系統

圖1所示為最基礎的二階網路。

Figure 1. A second-order network consisting of a resistor, inductor and capacitor.
圖1.由一個電阻、一個電感和一個電容構成的二階網路。

其傳遞函數為:

Equation 1

方程式1右側的分母被稱為「特徵多項式」,如果我們令特徵多項式為0,將會得出「特性方程式」。當轉換函數的分母等於0時,得到系統的「極點」。透過求解特性方程式的根(讓特性方程式等於0的s的值),我們可以找到系統的極點,從而擷取與系統運行狀況相關的許多資訊。

二階系統傳遞函數的一般形式為:

Equation 2

其中ζ表示阻尼係數,ωn表示電路的自然振盪頻率(或無阻尼頻率),單位為弧度/秒。

所以,二階系統的一般特性方程式為:

Equation 3

比較方程式3和方程式1,我們可以看出,圖1中的電路的自然頻率為:

Equation 4

我們也可以看出,電路中的電阻會影響網路的阻尼係數:

Equation 5

所以

Equation 6

所以

Equation 7

可以直覺性的看出,如果電路中沒有電阻,網路就不會出現耗損(無阻尼),如果對電路進行激勵,則電路會永久振盪。隨著電阻增加,振盪會更快衰減。

圖2顯示一個RLC電路,其中階躍輸入為1 V,L = 1 µH,C = 1 µF,電阻分別為0 Ω、100 mΩ和500 mΩ。電路按照預期的159 kHz頻率振盪。電阻增加對衰減的影響一目了然。

Figure 2. The effect of resistance on damping the oscillation of a network.
圖2.電阻對網路振盪的衰減影響。

我們可以透過將拉普拉斯域轉換為時域,以數學方式展示圖2所示的模擬結果。拉普拉斯域中的單位階躍輸入寫為:

Equation 8

所以當我們使用單位階躍輸入模擬二階系統時,結果會變成:

Equation 9

如果使用部份分式分解法,方程式9可以寫為:

Equation 10

方程式10是表示在拉普拉斯域中的。

在時域中,這會轉換為:

Equation 11

其中

Equation 12

採用逆拉普拉斯變換的公式11的數學推導如附錄A所示。

透過公式11,我們可以看出圖1的電路如何響應階躍輸入。我們可以看到,波形具有與正弦曲線類似的特性,其幅度則由e–ζωnt項調變,根據阻尼係數是正數或複數出現指數式衰減或增加。我們可以看到響應由正弦部分和餘弦部分組成,但是,阻尼系統較低時,正弦部分非常小。

此外,儘管電路的自然頻率為ωn,但電路不會按照此頻率振盪,而是按照更低一些的頻率ωd振盪,這個頻率由阻尼系統ζ決定。這個頻率被稱為「阻尼自然頻率」。然而,指數式衰減由電阻的無「阻尼自然頻率ωn」決定。

要找出轉換函數的極點,則需要確定轉換函數何時等於0,也就是說:

Equation 13

s的值可以使用二次方程式求解:

Equation 14

其中

a = 1

b = 2ζωn

c = ωn2

要得出系統極點,需要:

Equation 15

如果阻尼係數小於1,會得出負的平方根,所以最好將方程式15寫成:

Equation 16

我們之前說過ωd = ωn√(1 – ζ2),所以方程式16可以改寫為:

Equation 17

這裡我們可以看出,系統的極點包含實數部分(–ζωn)和虛數部分(±jωd)。

方程式17可以求解得出特性方程的根(系統的極點)。我們如何將這些極點與系統的穩定性聯繫起來?現在我們需要把拉普拉斯域的極點和時域的穩定性聯繫起來。

透過方程式11和方程式17,我們可以得出以下觀察結果。

無阻尼自然頻率ωn決定了:

  • 拉普拉斯域(方程式17)中的極點(–ζωn)的實數部分
  • 時域(e–ζωnt)中的指數式衰減(方程式11)

由此,可以合理假設極點的實數部分決定了系統的指數式衰減。

阻尼自然頻率ωd決定了:

  • 拉普拉斯域(方程式17)中的極點(±jωd)的虛數部分。
  • 振盪的實際頻率Equation 17(源自方程式11)

由此,可以合理假設極點的虛數部分確定了系統振盪的實際頻率。

這兩個假設可以用s平面圖表示,我將在下一節詳細介紹。

穩定的系統

控制理論認為,如果極點位於s平面的左半部分,則系統是穩定的。圖3所示為一個s平面示例,其中實數部分在x軸上繪製,虛數部分在y軸上繪製。

Figure 3. The s plane showing the stable left-half plane and the unstable right-half plane.
圖3.s平面:顯示穩定的左半部分和不穩定的右半部分。

從方程式17可以看出,如果阻尼係數為正(方程式17的實數部分為負),則極點位於左半部分。隨著阻尼係數增加,方程式17的極點進一步向左移動(在左側平面內,越來越靠近左側)。

如果方程式17在拉普拉斯域中,如何在時域中轉換?

為了方便起見,我們再次使用方程11:

Equation 11

正阻尼係數ζ會引發指數式的衰減幅度回應(由e e–ζωnt項表示),阻尼越大,衰減越快。隨著阻尼係數增加,極點進一步向左移動(在拉普拉斯域內),這進一步增大了時域內的指數式衰減。從圖2中可以看出這一點,圖2使用100 mΩ和500 mΩ線路來表述電阻對阻尼的影響。在此區域中,500 mΩ線路的阻尼係數最大,所以它的指數式衰減最明顯。0 Ω時,阻尼係數為0,此時極點完全位於y軸上,電路無限振盪,如圖2中的綠色線路所示。

值得注意的是,即使系統是穩定的,這並不表示一定沒有振盪。電路可能會在左半平面的極點處振盪,但是這些振盪的振幅會隨著時間而衰減,如圖2所示。

這對圖1中的電路表示什麼?

我們知道圖1中的阻尼是透過下方的方程式得出:

Equation 18

它的自然頻率則是:

Equation 19

所以,在L = 1 µH,C = 1 µF時,自然頻率為1 Mrads–1 (= 159.1 Hz),R = 500 mΩ時的阻尼係數為0.25。

所以,阻尼振盪頻率ωd由以下方程式計算得出:

Equation 20

所以,阻尼振盪頻率為968 krads–1,即154 kHz。這可以透過查看圖4中紅色波形的頻率來說明。

Figure 4. The effect of damping on the amplitude and frequency of an RLC circuit.
圖4.阻尼對RLC電路振幅和頻率的影響。

正弦波的振幅按 e–ζωnt 衰減。阻尼係數為0.25,自然頻率ωn為1 Mrads–1,阻尼自然頻率為968246 rads–1,那麼方程式11變成:

Equation 21

使用這個公式,計算得出VOUT在3.26 μs時為1.44 V,在9.75 μs時為1.09 V,與圖4中顯示的讀數完全一致。

圖4清楚顯示了增加阻尼係數會產生的影響,即振幅和阻尼自然頻率都減小。

如果我們繼續增大阻尼係數,會出現什麼結果?

我們知道阻尼自然頻率是透過以下方程式計算得出:

Equation 22

當阻尼係數增大到一時,阻尼自然頻率減小到零。這就是所謂的臨界阻尼點,此時電路中的所有振盪終止。這一點可參見方程式11。自阻尼自然頻率ωd減小到0,正弦項等於0,餘弦項目等於一,運算式簡化為一階系統,與透過電阻充電的電容完全一樣。

Equation 23

這一點可以參見圖4中的臨界阻尼線路。

不穩定系統

由於所有電路都具有電阻,所以許多電子控制電路的極點都位於左半平面,且系統本身保持穩定。但是,由方程式11可以看出,負阻尼係數會導致振幅回應呈指數增長,所以極點位於右半平面會導致系統不穩定。在電路類比中,通過插入負電阻,可以很容易看出右半平面的影響。圖5顯示RLC電路,其電阻為負。

Figure 5. RLC circuit with negative resistance.
圖5.電阻為負的RLC電路。

該電路的阻尼係數為-0.1。圖6顯示了它對階躍輸入的回應。

Figure 6. The step response of a second-order system with negative damping.
圖6.阻尼為負的二階系統的階躍回應。

阻尼自然頻率仍然由以下方程式表示:

Equation 23

阻尼係數為-0.1時,振盪的實際頻率為994987 rads–1 (158.3 kHz)。

同樣,從方程式11可以看出電路回應由以下公式表示:

Equation 24

在輸出增大時,我們可以得出振幅響應:VOUT在41.05 μs時,計算得出的值為61.62 V,在47.36 μs時,為114.99 V,與圖6中所示的讀數完全一致。

主導極點

有時一個系統由許多極點組成,使分析變得複雜。但是,如果極點之間相隔的距離夠大,那麼一個極點產生的影響通常會主導其他極點,因此可以忽略非主導極點,從而簡化系統。

圖7的上半部分顯示了兩個RLC電路,每個都使用完全相同的L和C元件;只是電阻發生了變化。電阻較低的電路的極點更靠近s平面的虛數軸。

Figure 7. The effect of dominant pole location on series and parallel circuits.
圖7.主導極點的位置對串聯和並聯電路的影響。

圖7的下半部分顯示了這兩個電路的串聯。我們使用行為電壓源B1來複製V(OUT3),以免它被R4、L4和C4載入,以便我們查看V(OUT3) × V(OUT4)的真實回應。

Figure 8. The effect of a dominant pole on system response with two waveforms added or multiplied.
圖8.當兩個波形相加或相乘時,主導極點對系統回應的影響。

我們可以參考圖8查看它們的響應。不出所料,電阻最大的電路具有最大的阻尼係數,因此其振盪衰減也最快,如圖V(OUT2)所示。但是,我們注意到,當兩個輸出要麼相加(使電路並聯),要麼相乘(使電路串聯)時,V(OUT1)在回應中主導。因此,要簡化複雜的系統,方法之一是重點關注極點更靠近jω軸的電路,該電路會主導整個系統的響應。

在左右半面均有極點分佈的系統

我們已經考慮過極點位於左半平面或右半平面的系統。如果系統在左右半面均有極點分佈,會怎麼樣?哪一種在穩定性方面更勝一籌?為什麼?

我們再次參考方程式11,可以看出指數是決定系統是否穩定的決定因素。我們可以忽略方程式11的正弦部分,只看指數,以瞭解如果我們將左半面的極點和右半面的極點結合,會發生什麼。圖9透過一個簡單電路來進行示範。

Figure 9. A circuit with poles in both the left- and right-half planes.
圖9.極點分別位於左半面和右半面的電路。

很顯然,頂部的RC電路的極點位於左半面,因為它的電阻為正。底部電路的極點則位於右半面。得出此結論的數學推導如 附錄B所示。

圖9中,電路的響應如圖10所示。

Figure 10. The response to a step input of an RC circuit with positive and negative resistance.
圖10.對具有正負電阻的RC電路的階躍輸入的響應。

頂部波形在大約5毫秒後穩定在零梯度,這符合大眾接受的規則,即RC電路將穩定在大約5個時間常數。相反,V(OUT2)的梯度不斷增加。現在可以明顯看出,如果將極點位於左半面的電路和極點位於右半面的電路串聯,那麼整個電路會不穩定,這是因為在左半面電路穩定很長時間後,右半面電路的響應會繼續呈指數上升。因此,為了讓電路穩定,所有極點都必須位於左半面。

結論

本文將電子控制理論中使用的理論模型與電子工程師所處的現實加以聯繫。受系統中的電阻(或阻尼)影響,只有當所有極點都位於左半面時,控制系統才會保持穩定。對於極點位於右半面的系統,透過測量其輸出回應,結果證實存在問題,因為這需要建構負電阻模型。幸運的是,電腦模擬幫助我們解決了這個問題,讓我們能夠透過簡單變更電阻的極性來展示穩定和不穩定的電路。

而同樣的,拉普拉斯變換也很少在課堂之外出現,但在驗證二階電子系統如何工作時,它們的作用可謂是無價的。

附錄A

顯示

Equation A1

單位階躍輸入的拉普拉斯變換為

Equation A2

二階低通濾波器的通用轉換函數為

Equation A3

所以,由單位階躍類比的二階系統的回應為

Equation A4

使用了標準的部份分式分解法,方程式如下:

Equation A5

s替代x之後,

Equation A6

在A4中,分子中不含s或s2。而且,分母中也不含a。

所以方程式A6可以改寫為

Equation A7

因此

Equation A8

為保證方程式A8兩邊的分母相同,可以將其改寫為

Equation A9

為了驗證,可以將方程式A9的右側與方程式A8的右側進行比較:

Equation A10

現在,我們可以使方程式A9的分母相等,以求解A、B和C:

Equation A11

s2的係數相等:

0 = A + B

s1的係數相等:

0 = A(2ζωn) + C

s0的係數相等:

ωn2 = Aωn2

所以 A = 1, B = –1, C = –2ζωn

因此,透過方程式A8可以得出

Equation A12

(注意符號的變化,因為B和C都為負)

從時域(左邊)到拉普拉斯域(右邊)有三次變換:

Equation A13

透過完成平方計算,我們可以把方程式A12寫為

Equation A14

等於

Equation A15

我們現在需要讓分子等於(s + 2ζωn),使其與分母中的第一項匹配,以便我們使用拉普拉斯定義:

Equation A16

因此,透過將ζωn分子項分解為分式,方程式A15等於

Equation A17

(所以, a = –ζωn and b = ωn√(1 – ζ2))

我們現在需要讓方程式A17的第三個項等於 ωn√(1 – ζ2) ,使其和分母匹配,以便我們使用拉普拉斯定義:

Equation A18

用方程式A17的第三個項除以ωn√(1 – ζ2),然後將 ωn√(1 – ζ2)放在分子位置。

那麼整個方程式可以改寫為

Equation A19

所以 a = –ζωnb = ωn√(1 – ζ2)

方程式A19現在可以從拉普拉斯域中轉變為

Equation A20

第三項中取消了兩個wn。因為阻尼自然頻率ωd可以寫為

Equation A21

方程式A21可以簡化為

Equation A22

許多課本中提到,方程A21的多項式也可以寫為

Equation 23

所以我們的衰減指數由阻尼係數和無阻尼自然頻率決定,振盪由阻尼自然頻率決定。

可以將方程式A23輸入試算表和表示輸出與階躍輸入之間關係的圖表中。

附錄B

顯示

Equation B1

單位階躍輸入的拉普拉斯變換為

Equation B2

RC電路的通用轉換函數為:

Equation B3

s為負值時,分母為零,所以這個電路的極點位於左半面上,因此系統是穩定的。如果電阻為負,那麼極點位於右半面,系統會不穩定。

從方程式B3可以看出,RC電路的轉換函數與階躍輸入之間的關係為

Equation B4

使用了標準的部份分式法,方程式如下:

Equation B5

在本例中,a = 0

所以

Equation B6

分子中s1的相等項為

0 = ACR + B

分子中s0的相等項為

1 = A

所以 A = 1, B = –CR

因此

Equation B7

從時域(左邊)到拉普拉斯域(右邊)有兩次變換:

Equation B8

將方程式B7轉化為採用時域表示RC按照預期

Equation B9

進行回應。

附錄

下載與本文相關的 LTspice®檔

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參考資料

1 Charles Phillips、Royce Harbor。《回饋控制系統》,第4版。Prentice Hall International,1988年。

致謝

感謝倫敦布魯內爾大學的Maysam Abbod為本文實施理論校正。