相位陣列天線場型—第二部分: 光柵波瓣與波束偏斜

作者: ADI 技術經理Peter Delos ; 工程經理Bob Broughton; 資深應用工程師Jon Kraft

簡介

本文為相位陣列天線場型三部曲的第二篇。 在第一篇中，我們介紹了相位陣列操控概念，以及探討影響陣列增益的各種因素。在第二部分中，我們將討論光柵波瓣(grating lobe)以及波束偏斜(beam squint)。光柵波瓣很難透過圖像解說，因此我們運用數位轉換器中的訊號映頻混擾以及把光柵波瓣看作是一種空間混疊，以透過這些相似情況來進行解說。之後，我們再探討波束偏斜的問題。波束偏斜是我們在使用相位移技巧時導致天線出現頻率失焦，我們運用波束偏斜，而不是真實時間延遲來操控波束。另外我們還會討論這兩種操控方法的優缺得失，以及瞭解波束偏斜在一般系統上產生的影響。

介紹光柵波瓣

到這裡我們只提到元素間隔 d = λ/2的例子。圖1顯示在相位陣列中為何λ/2元素間隔如此常見。圖中顯示兩個案例，第一個以藍色代表的案候，和第一篇圖11一樣都是30度。接著d/λ間隔提高到0.7，顯示天線場型如何變化。在這個間隔增加狀況中，請注意波束寬度縮小，其產生了正面的結果。縮減各零陷點(null)之間的間隔讓它們彼此更靠近，也能產生可接受的結果。接著我們看第二個角度，在這個案例中為負70度，這個情況是全陣列增益。這是最不好的結果。這個天線增益的複本，定義成一個光柵波瓣，也可視為空間映頻混擾(spatial aliasing)。

以採樣系統作比喻

為方便瞭解光柵波瓣，我們以採樣系統中的映頻混擾作比喻。在類比至數位轉換器(ADC)方面，到了規劃接收器架構的階段，經常會用低額採樣方法。低額採樣涉及到降低採樣率(f_S)，透過採樣流程讓高於f_S/2的頻率(較高奈斯奎特區)就像是出現在第一奈斯奎特區的失真。而這會造成這些較高頻率看起來就像是出現在ADC輸出端的較低頻率。

相位陣列的狀況也相當類似，各個元素對波峰進行空間採樣。奈斯奎特理論可延伸到空間域，前提是每個波長中有兩個樣本 -亦即元素–需要避免映頻混擾。因此，倘若元素間隔大於λ/2，我們就能將它視為空間映頻混擾。

計算出光柵波瓣發生處

但這些空間映頻混擾(光柵波瓣)究竟出現在何處? 在第一篇專文中，我們提到陣列各元素的相位差會與波束角成函數關係

反過頭來，我們可推算出波束角和相位差成函數關係

反正弦函數只會為引數產生介於負1與正1之間的實數解。若是超出上下限，求到的解就不是實數 – 這類似於試算表軟體中大家熟悉的"#NUM!"函式。另外要注意的一點，是公式2中的相位是週期性，每2π重複一次。因此，我們可把∆Φ 換成波束操控公式中的 (m × 2π + ∆Φ) ，即得到公式3。

這裡的m = 0, ±1, ±2, …

為防止出現光柵波瓣，我們的目標是求出一個實數解。就數學而言，用的方法是保持

這麼一來，所有空間影像(亦即m = ±1, ±2等)就會產生非實數的反正弦結果，這些都可以忽略掉。但如果不能這麼做，一些m > 0的值就會產生反正弦結果，最終得到多個解:結果就是光柵波瓣。

d > λ與λ = 0°的光柵波瓣

這裡我們舉幾個例子以方便解釋。第一，在機械視軸的案例中，θ = 0，而∆Φ = 0。公式3可簡化成公式5。

 

 

從這個簡化過程可證，若λ/d > 1，且m = 0，則引數的上下限會在負1到正1之間。之後該引數會變成0，arcsin(0) = 0°，亦即機械視軸角為0。這符合我們的期望。此外，若m ≥ 1，反正弦引數會太大(>1)，得到的解就不是實數。我們會看到當θ = 0 而d < λ時就不會有光柵波瓣!

不過，若是d > λ (因此λ/d 就<1)，得到多個解，那麼光柵波瓣就會存在。舉例來說，若λ/d = 0.66 (因此d = 1.5λ)，那麼在m = 0 以及m = ±1時，就會存在反正弦實數解。m = ±1是第二個解，代表訊號的空間映頻混擾。因此，我們可預期看到3個主波瓣，其振幅約略相等，出現的位置分別在arcsin(0 × 0.66)、arcsin(1 × 0.66)、以及arcsin(–1 × 0.66)。在角度方面，分別是0° 與±41.3°。事實上，這和圖3的陣列因素圖所顯示的如出一轍。

λ/2 < d < λ狀況下的光柵波瓣

在簡化光柵波瓣公式(公式5)方面，我們選擇只看機械視軸(∆Φ = 0)。首先，來看視軸，若是d < λ光柵波瓣就不會出現。但就以採樣理論比喻來看，我們應該也預期看到當間隔高過λ/2時就會出現一些光柵波瓣。那麼當λ/2 < d < λ時，光柵波瓣會出現在何處?

首先，回想第一篇圖4中相位如何隨著操控角一起改變。我們看到∆Φ的範圍從0到±π，隨之變化的則是主波瓣偏離機械視軸。因此，

 

 

為變動範圍

 

 

而當|m| ≥ 1，總是會產生有一些效應

 

 

若是我們希望在所有|m| ≥ 1的狀況讓整個反正弦引數維持>1，這就會限制了允許的最小λ/d值。考量兩個案例:

• 如果λ/d ≥ 2 (也就是說d ≤ λ/2)，那麼不論m的值為何，都不會有多個解。所有m>0的解會產生一個反正弦引數>1。而這也是避免光柵波瓣出現在水平方向的唯一辦法。
• 然而，如果我們刻意把∆Φ限制在小於±π的範圍內，那麼就能容許比較小的λ/d值，而且仍然不會看到光柵波瓣。縮減∆Φ的範圍意謂降低我們陣列的最大偏轉角。我們會在下一段文章中再探索這個有意思的取捨關係。

元素間隔的考量因素

那麼元素間隔永遠都會小於λ/2嗎 ? 並不盡然 ! 這是因為天線研發業者必須考量一項取捨因素。若是波束完全偏轉到水平，θ = ±90°，那麼就需要λ/2的元素間隔(如果在可視半球範圍不允許有光柵波瓣)。但在實數上，最大可用的偏轉角永遠小於90度。這是因為元素因素以及在大偏轉角出現其他退降。

圖2的反正弦圖中可看到若y軸θ侷限在縮減的極限範圍，那麼光柵波瓣就只會出現在不再使用的掃瞄角。就特定元素間隔(d_max)而言，這會如何縮減極限(θ_max)?之前提到我們的目標是維持

 

 

我們利用這個公式計算出第一個光柵波瓣(m = ±1)會出現在何處。做這項改變然後使用第一篇計算∆Φ的公式1，即為:

 

 

還可簡化成

 

 

接著解算 d_max

 

 

d_max 代表的狀況是縮減後的掃瞄角(θ_max)沒有光柵波瓣，這裡的θ_max小於π/2 (90°)。舉例來說，倘若訊號頻率為10 GHz，我們需要偏轉±50°而且不會出現光柵波瓣，那麼最大元素間隔則為:

 

 

限制最大掃瞄角，就能自由延展元素間隔，從而增加每個通道的實體尺吋，還能延伸特定數量元素的孔徑。這種現象的一個應用範例，就是針對相當窄的預定方向指派一個天線。我們可以增加元素增益，藉以朝預先定義方向提高指向性，另外也能增加元素間隔以構成較大的孔徑。兩種結果就是在較窄的波束角內達到更高的整體天線增益。

注意到公式3顯示某個波長的最大間隔，包括在零偏轉角的狀況。這會發生在可視的半球中不允許光柵波瓣的狀況。以地球靜止衛星(GEO satellite)為例，從機械視軸來觀察，整個地球的偏轉角為9度。只要衛星不落到地表，就有可能容許光柵波瓣。在這類狀況中，元素間隔可能達到數個波長，導致波束寬度更窄。

另外值得一提的還有天線架構，它能產生非均勻的元素間隔，協助克服光柵波瓣的問題。這些被歸類為非週期性陣列，空間陣列就是例子。基於組建機械式天線方面的各種原因，業界希望利用通用型組件能夠擴充至更大的陣列，然而這也可能產生一個均勻排列陣列，會受到上述光柵波瓣狀況的限制。

波束偏斜

在第一部分開頭，我們介紹了波峰如何接近元素陣列，波峰角θ的元素和視軸之間存在時間延遲。在單一頻率的情況，可用相位移來取代時間延遲，藉以操控波束。這種方法在窄頻波型有效，但寬頻波型中，波束操控是由相位移產生，而波束則偏轉的方向會與頻率成函數關係。我們記得時間延遲是一種線性相位移與頻率的關係，這樣就能很直覺地將其解釋。因此對於波束方向而言，所需的相位移會隨著頻率函數改變。或者反過來說，對於相位移而言，波束方向會隨著頻率函數而改變。波束角隨著頻率函數改變，這種概念稱為波束偏斜。

接著來看視軸，當θ = 0，元素之間沒有相位移，因此沒無法產生任何波束偏斜。因此，波束偏斜的量必須和θ角以及頻率偏移呈函數關係。圖5顯示一個X波段的例子。在這個例子中，中心頻率為10 GHz，調變頻寬為2 GHz，很明顯可看出波束改變方向與頻率以及初始波束角呈函數。

波束偏斜可直接計算。使用公式1與公式2，波束方向偏移、波束偏斜的計算公式為

 

 

這個公式顯示在圖6。在圖6中，刻意顯示f/f₀ 比值。前個公式的倒數(f₀/f)提供一種更簡單的方法，以圖像呈現相對於中心頻率的變化

波束偏斜的幾項特性:

• 波束角與頻率的偏離幅度，會隨著波束角遠離視軸而加大
• 低於中心頻率的頻率，其造成的偏移幅度會大過比中心頻率還高的頻率所造成的偏移
• 低於中心頻率的頻率，會把波束拖離視軸

波束偏斜的考量

波束偏斜、偏轉角與頻率的偏差，這些都是相位移的時間延遲所造成。若是用真正時間延遲單元來建置波束操控，就不會有這種問題。

波束偏斜問題如此顯而易見，那麼為何所有人都要用移相器而不是時間延遲單元? 原因通常是移相器相比時間延遲元件具有設計簡易性以及IC易得性的優點。時間延遲機制一般建置在傳輸線路，總共需要的延遲則是與孔徑尺吋成函數關係。到目前為止，市面上大多數的類比波束成型IC都是以移相器為基礎，但許多廠商也陸續推出真正時間延遲IC，在相位陣列建置方面也會越來越常見。

在數位波束成型方面，真實時間延遲機制可建置在DSP邏輯以及數位波束成型演算法。因此，每個元素進行數位化所依賴的相位陣列架構，自然就能克服波束偏斜問題，同時還提供可程式化的彈性。然而，解決方案的功耗、尺寸、以及成本都可能存在問題。

在混合波束成型中，結合配合子陣列的類比波束成型，以及配合全陣列的數位波束成型。這種方法在抵銷波束偏斜方面可以提供一定程度的效果，因此值得考慮採用。波束偏斜只受到子陣列影響，子陣列的波束寬度要大得多，因此也更能容許波束角偏移。因此，只要容許子陣列波束偏斜，混合式波束成型架構就能連同相移器進行建置，在此之後才是數位波束成型的真正時間延遲。

總結

本文是相位陣列天線場型三部曲的第二部分。在第一部分中，我們介紹波束指向以及陣列因素。在第二部分，我們介紹光柵波瓣以及波束偏斜的缺陷。在之後的第三部分，我們則將探討利用振幅錐削來減少旁波瓣，以及深入解析相位差量化誤差造成的影響。