透過在LTspice中應用拉普拉斯變換對傳遞函數進行建模

作者:ADI現場應用工程師Joseph Spencer


摘要

傳遞函數用於電子系統的設計,例如濾波器、電源和其他控制系統。傳遞函數的頻域分析涉及到拉普拉斯變換。本文探討LTspice®中的傳遞函數實現方案,將理想的回應與建模的實現方案進行比較,並提供多個有用示例。有一些檔案可以協助理解和實踐本主題。

簡介

當我們想要分析一個系統的輸出如何隨輸入變化時,會使用傳遞函數。這個系統可以是電阻分壓器的輸出電壓,也可以是您在踩油門時汽車的速度。為了分析系統,我們需要瞭解,當與頻率範圍內的輸入比較時,其輸出振幅和相位如何。為此,我們使用拉普拉斯變換。

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目前有許多資源對拉普拉斯變換的數學邏輯和直覺性都展開了探討。為了達到我們的目的,我們可以把它看成一個數學工具,它讓我們能夠操作增益、頻率、相位和系統的指數回應。

圖1顯示了傳遞函數的基本思路。

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圖1. 傳遞函數。

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圖2. 電阻分壓器和RC電路都將振幅降低一半,其中f = 1 kHz。RC電路還會導致延遲。

圖2顯示了兩個不同的傳遞函數。電阻分壓器可以簡單表述為:

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RC電路則使用稍複雜一些的公式2進行表述:

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透過以這種形式來表述傳遞函數,我們可以從極點與零點角度來討論。這裡,在ωp = 1/RC對應的位置有一個極點。雖然RC電路(紅色曲線)的1 kHz輸出與電阻分壓器的振幅相同,但其相位延遲較為明顯。透過使用拉普拉斯變換,我們可以表述RC電路的增益和相位如何隨頻率變化。可以參考示例檔 Simple_RC_vs_R_Divider.asc1

LTspice中的拉普拉斯變換語法

要在LTspice中實現拉普拉斯變換,首先要在示意圖中加入一個與電壓相關的電壓源。其對話方塊如圖3所示。

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圖3. 加入一個與電壓相關的電壓源。

右鍵點擊電壓源元素,打開元件屬性編輯器。在值欄位中,輸入"Laplace = ",後接您的公式,其中應包含複變數"s"。

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圖4. 在欄位中輸入公式。

在圖4中,{C}和{R}包含在大括弧中,所以我們可以使用.step spice命令來重複使用某些值。

圖5模擬顯示一個RC阻抗分壓器的階躍回應,以及使用拉普拉斯變換表述的對等傳遞函數。運行模擬,2 我們可以看到,兩個輸出是匹配的。

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圖5. 一個簡單的RC電路,以及對等的拉普拉斯變換。

在傳遞函數增大的過程中,我發現使用代碼編輯器非常有用,它可以自動重點顯示匹配的括弧。在文字編輯器中輸入公式,然後將其複製到LTspice對話方塊中。參見圖6。

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圖6. 利用文字編輯器的語法重點顯示功能。

關於極點和零點的回顧

公式3提供了一個傳遞函數示例。

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拆解公式3的各個部分,我們首先會看到ωp0/s項。這表示一個原極點。原極點與積分器同義,用以在低頻率下提供極高增益,從而消除控制系統中的穩態誤差。原極點產生恆定的90°相位延遲,以及–20 dB/十倍頻程的增益回應。ωp0項表示增益因為原極點滾降至0 dB時的頻率。

求分子和分母的根可以分別得出零點和極點頻率。注意極點/零點頻率是由這些根的幅度(即絕對值)提供的。零點導致產生90°相位增幅,且其頻率周圍的增益增大。極點導致產生90°相位延遲,且其頻率周圍的增益降低。

如果將示例傳遞函數表述為:

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最前方的"s"項現在表示原點處的零點。原點處的零點是純微分器的代表。它具有恆定的90°相位增幅,增益隨頻率增大,在頻率為ωz0時達到0 dB增益。

在圖7所示為這些不同極點和零點的實現。每個實現方案的頻率都為1 kHz。得出的每個實現方案的增益和相位如圖8所示。可以參考示例檔 PoleZeroExamples.asc3

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圖7. 極點和零點的實現。

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圖8. 極點和零點(均在1 kHz頻率下)的頻率和相位回應。

比較理想和建模的實現方案

透過使用LTspice來對傳遞函數進行建模,您可以利用龐大的建模元件庫。在第一個示例中,我們來看看提供比例增益的反相運算放大器。在理想實現中, H(s) = –Rp/Ri。這應該會導致簡單的輸入電壓縮放,以及180°相移。但如圖9所示,在約320 kHz時,對比理想增益,增益滾降3 dB,且相位發生了明顯偏移。其推斷依據是LT6015的增益頻寬為3.2 MHz,圖9所示電路的增益為–10 V/V。

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圖9. 比例增益。

在LTspice中,您可以在波形檢視器中輸入您自己的公式。如果我們想要查看理想公式與運算放大器電路的增益和相位差,那麼我們可以增加新波形。操作方式為,右鍵點擊波形檢視器,然後選擇增加曲線。然後,可以增加運算式,以得到一個節點除以另一個節點(即V(vout_pro)/V(vout_laplace))的繪圖。參見圖10。

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圖10. 增加計算出的波形。

其增益和相位比較如圖11所示,從圖中很明顯可以看出,在低頻率下,增益差為0 dB,無相位差。可以參考示例檔 ProportionalGain.asc4

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圖11. 比較兩個波形的增益和相位。

二階RLC系統

Simon Bramble的文章 「二階系統電子控制理論:為工程師提供的實用分析」提供了二階系統的一般形式。5

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當表示為LRC時,我們可以使用以下公式:

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LTspice實現方案如圖12所示。在該示例中,您可以指定R、L和C,或者,您可以指定阻尼因數ζ和諧振頻率ωn

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圖12. 二階RLC系統。

這個二階系統的頻率回應如圖13所示。圖中所示的峰化通常不可取,在進行設計時,例如,為降壓穩壓器設計輸入EMI濾波器時,通常需要對這一峰化進行衰減。可以參考示例檔 LRC_AC_Analysis.asc6

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圖13. RLC頻率回應。

微分器和安全極點

微分器如圖14所示。

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圖14. 微分器。

和預期的一樣,原點處的零點導致增益在頻率範圍內增加20 dB/十倍頻程。微分器用於提升對高頻率訊號的回應。實際上,我們並不會使用純微分器,而是會在實現過程中加入一個安全極點。加入安全極點是為了使系統不會對高頻率雜訊太過敏感。此外,請注意運算放大器實現方案中顯示的諧振峰值。在嘗試控制系統時,這個峰值最終可能會造成問題。

圖14所示的實現方案會在以下頻率時達到零(增益達到0 dB)

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在我們的示例中,安全極點在此值的5倍處實現。圖15顯示包含安全極點的微分器實現方案。我們所需的極點頻率為5 × 159 Hz = 796 Hz。為了實現這個頻率,我們會使用電容值為輸入電容的1/5的回饋電容。計算整個傳遞函數的公式為:

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其中ωz = 1/RpCd,ωp = 1/RpCi 。模擬(參見圖11)顯示,在接近極點頻率時,該安全極點會將增益和相位雙雙降低。由運算放大器導致的峰化也會降低。

一階加延遲(FOPD)

在對系統的行為建模時,FOPD模型是一個有用工具。有關更完整的說明,請閱讀John D. Hedengren博士的「動態過程建模」 報告。7 簡而言之,過程可以用固定延遲、滿量程回應和時間常數來描述。要實現固定延遲,我們會利用下方的拉普拉斯變換:

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注意,時間常數由1 –1/e = 63.2%定義。FOPD模型表示為:

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kp = 滿量程輸出

𝜏F = 時間常數

𝛳F = 時間延遲

圖16顯示的是滿量程為100、時間常數為10 s、延遲為1 s的系統實現方案。因為是在t = 1 s時應用輸入階躍,所以緊接著在圖17中t = 12 s時,輸出為63.2 V。可以參考模擬檔 FOPD.asc8

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圖16. 一階加延遲模型。

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圖17. 對輸入階躍的一階加延遲回應。

在LTspice中設計補償器

控制系統設計是跨越多個學科的複雜領域。補償器是閉迴路控制系統的一個關鍵組成部分。在得出被控系統的傳遞函數之後,就需要設計補償器來調節增益和相位,使閉迴路電路實現穩定性和高性能。


PI(2a型)補償器


許多系統可以使用2a型補償器進行補償,它由原極點(積分器)和一個零點構成。負反饋提供180°相位延遲,而原極點另外導致90°固定延遲。透過加入一個零點,可以在更高頻率下消除這個額外的90°相移。透過使用這種方法,我們可以確定在特定頻率下需要多少相移,並據此增加零點。

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圖18. 基於運算放大器的2a型補償器。

基於運算放大器的2a型控制器如圖18所示。2a型傳遞函數可以表示為:

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原極點頻率公式為ωp = 1/R2Ci,零點頻率為 ωz = 1/R2Ci

在此情況下,運算放大器的作用很明顯,導致增益和相位在更高頻率下相比理想值雙雙滾降。可以參考示例檔 Type2a.asc9

2型補償器

2型補償器由一個原極點和一個極點/零點對構成,表現形式如圖19所示。

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圖19. 2型補償器。

計算傳遞函數的公式為:

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極點/零點的位置為:

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此時,設計人員會面臨一個兩難的情況。R和C的選擇對極點和零點都會產生影響。此外,還需要確定加入極點和零點的位置。《設計線性和切換電源的控制迴路》一書推導了如何完成設計過程,並提供了一個相關示例。為了幫助讀者理解,我們在LTspice示例檔 Type2_autoCalcs.asc 中採用並說明了此方法。10 該示例的輸出如圖20所示。該示例達成了在10 kHz時實現10 dB衰減和30°相位增幅的目標。和之前一樣,運算放大器在更高頻率下會顯示出其非理想特性。

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圖20. 2型相位和頻率回應。


3型補償器


3型補償器的表現形式如圖21所示。

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圖21. 3型補償器。

實現這個更複雜的傳遞函數是為了獲得更大的相位增幅。負反饋提供180°初始延遲。但是現在,我們能夠使用兩個零點,可以將相位增加180°。透過加入兩個極點使高頻率增益和相位出現滾降。計算傳遞函數的公式為:

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極點/零點的位置為:

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與2a型補償器一樣,涉及到選擇極點/零點位置,然後計算R和C的過程。《設計線性和開關電源的控制迴迴路》一書推導了如何完成設計過程,並提供了一個相關示例。為了幫助讀者理解,我們在LTspice示例檔 Type3_autoCalcs.asc中採用並說明了此方法。11 該示例的輸出如圖22所示。該示例達成了在5 kHz時實現10 dB衰減和145°相位增幅的目標。和之前一樣,運算放大器在更高頻率下會顯示出其非理想特性。

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圖22. 3型補償器回應。

時域中的原極點

到目前為止,我們已經展示了LTspice如何利用電路元件和拉普拉斯變換來實現傳遞函數。所展示的示例採用的均是頻域。接下來自然可以在時域(即階躍回應)中分析這些傳遞函數。

為此,我們需要解決原極點和如何實現的問題。包含原極點(即純積分器)的傳遞函數為H(s) = 1/s。這個傳遞函數在頻域(圖23)中運行正常,但在時域中會出錯(圖24)。

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圖23. 原極點的AC分析運行正常。

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圖24. 原極點瞬態分析失敗。

為了解決這個問題,我們可以改為使用行為電壓源和idt()函數。此方法如圖25所示。圖25還提供了回饋系統的開頭部分,它比較了對靜態回饋電壓的阻礙作用。可以參考示例檔 OriginPole_TransientAnalysis_idt.asc12

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圖25. 可在時域中正常運行的積分。

濾波器設計

《線性電路設計手冊》13 只是ADI提供的龐大教育材料庫中的一部分。該書第8章探討了類比濾波器。本章中探討的濾波器拉普拉斯標記法已作為示例檔 Laplace_Filters_LinearSystemsBook.asc提供。14 請參考Precision Toolbox中關於濾波器設計的部分,取得有關設計有源濾波器之協助。15

結論

本文透過比較集總元件標記法和基於拉普拉斯變換的公式,就如何實現傳遞函數提供了大量示例。這些示例作為教育材料的目的是將課堂理論和電路實現結合起來,為各種補償器的實際設計提供協助。需要注意的是,對於切換模式電源, LTpowerCAD 是一種強大(且優選的)的補償設計資源。16 雖然LTspice可能會被用於設計和理解某些補償器,但在設計電源時,LTPowerCAD才是適合此項工作的工具。

參考電路

1 Simple_RC_vs_R_Divider.asc。ADI

2 Laplace_Simple_RC.asc。ADI

3 PoleZeroExamples.asc。ADI

4 ProportionalGain.asc。ADI

5 Simon Bramble。「二階系統電子控制理論:為工程師提供的實用分析」。《類比對話》,第54卷第3期,2020年9月。

6 LRC_AC_Analysis.asc。ADI

7 John D. Hedengren。 「動態過程建模」

8 FOPD.asc。ADI

9 Type2a.asc。ADI

10 Type2_autoCalcs.asc。ADI

11 Type3_autoCalcs.asc。ADI

12 OriginPole_TransientAnalysis_idt.asc。ADI

13 《線性電路設計手冊》。ADI,2008年。

14 Laplace_Filters_LinearSystemsBook.asc。ADI

15 ADI Precision Studio。ADI

16 Henry Zhang。 「應用筆記149:切換模式電源的模型和迴迴路補償設計」。 凌力爾特,2015年1月。

Basso, Christophe。 設計線性和切換電源的控制迴路,設計線性和切換電源的控制迴路

Differentiator_SafetyPole.asc。ADI

Type3_autoCalcs_steps.asc。ADI

致謝

模擬均是透過LTspice完成。感謝科羅拉多大學博爾德分校Shalom D. Ruben博士對本文的指導。